Комбинаторная теория групп - Линдон Р.
Скачать (прямая ссылка):
Имея доказанное в виду, мы можем не только свободно менять местами а и г в силу симметрии, но также заменять а на о и т на т.
Случай 1. т переставляет буквы. Тогда \v\ = \w\, откуда IuKM. Положим п=2, причем рх=т и р2=т-1а-1т.
Рассмотрев этот случай, мы будем впредь считать, что ни т, ни о не является перестановкой букв; это позволяет нам записать о=(А, а) и х=(В, Ь).
Случай 2. А П В = 0 и Ь=а~1. В этом случае мы можем положить п = \ и Pi=O-1T= (А+В—а, а-1).
Случай 3. A Л В=0 и а-1 ? В'. В этом случае можно положить /1=2 и P1=T, P2=T-1CT-1T. Чтобы понять, что p2€?, проверим, что T-1OT — это о, если Ь'1 б А', и (А+В—Ъ, а), если b~x ? А. Остается показать, что |ит|<Ы. Для этого рассмотрим неприведенные циклические слова до' и и', получающиеся из до и и применением преобразования т. Вхождения букв X 6 В—b в до находятся во взаимно однозначном соответствии с аналогичными вхождениями в u=wo,
4. Автоморфизмы свободных групп
.¦-«sc
Следовательно, \w'\—1до| = |и'|—IuI. Далее, w и и получаются из до' и и' вычеркиванием подслов bb~x; покажем, что и' содержит столько же подслов вида bb'1, сколько и до'.
Подслово bb'1 слова до может встретиться только в одном из подслов р' вида xbb'1, bb^y1 или xbb^y1, возникающем из подслова р слова до одного из видов xb~x, by1 или ху1, где х, у € В—Ь. Поскольку х, у, b?A, такое подслово встречается в u=wa в нетронутом виде, а значит, дает вхождение подслова bb'1 в и'. Таким образом, |ыт|—ІмКІдотІ—|до|; используя (*) и тот факт, что дот=и, мы получаем \ux\^\u\ + \v\—|до|<2|до|—|до| = |до|.
Случай 4. Af)B = 0, общий случай. Заметим, что из A D В=0 следует афЬ. Согласно случаю 2, мы можем предполагать, что афЬ1. Согласно случаю 3, можно считать, что а~х?В и Ь'1 ? А: Положим а' = (А, Ь'1) и т' = (В, а-1). Согласно предложению 4.16 и определению преобразований о', т', имеем D(o')+ D(т') = = D (a) + D(t); из (*) получаем D(a) + D(x) = |« | + |у| —2|до|<0. Отсюда D(a') + D(t') < 0 и одно из слагаемых, скажем D(t'), отрицательно. Положим п = 3 и возьмем в качестве plt р2, р3 такие преобразования: P1 = O-V = (А +а + а'1, а'1) (В, а'1) = (А + В—
— а, а'1), р2 —автоморфизм, переводящий а в b'1, b в а-1 и оставляющий на месте все остальные буквы, р3 = (В — а-1+ а —
— b+b~l, а). Вычисление показывает, что т/-1т = р2р3, откуда (T-1T = P1P2P3. Теперь D (т') = І дот' I — І до I < О и Wp1 = (дов ) (о-V)= =дот/, так что I Up11 < I до |. Поскольку р2 — перестановка, | Up1P21=
4"PiKM-
Случай б. А Г)ВФ0. Сведем этот случай к случаю 4. Заметим, что, согласно (***), D (a)+ D (т) < 0, откуда по 4.16
(f) A-A'+B-B'— а-Х*1 — Ь-Х*1 < 0.
Запишем
A1 = A, A2 = A', B1 = B, B2 = B' и P11 = AiC]B,.
Тогда
А-А' + B-B' = A1-A2 +B1-B2= P11-Pn + P22-P22 + 2P12-P11^
Рц Р\\ + Р22'Ргъ
аналогично, переставляя B1 и B2, получаем
A-A' +B-B'> P12-Pl2 +P21-P21.
Поэтому (t) дает
Р^-Ри + Р^Р^-а-Х^-Ь-Х^ <°. (П) P12-Р'12 +P21-Р21-а-X*1-b-X*1 <0.
57
58
Гл. I. Свободные группы и их подгруппы
Пусть х — одна из букв a, a~l, b, Ь~х и Р{х)—то пересечение Р{j, которое содержит х; заметим, что х-1(?Р(х). Покажем, что по меньшей мере для одного выбора элемента х преобразование (P (х), х) уменьшает \w\. Если множества P (х) различны для 4 различных выборов элемента х, то из 4.16 и (ff) получаем
2,D(P(X), X) = ^1P(X)-P(X)'-^х-Х^ =
= 2 Pи ¦ р'ч -2 (а • Xі1 + Ь ¦ Х±х)< О,
откуда следует, 4TOHeKOTOpOeD(P(x)1 х) меньше 0. В оставшемся случае некоторое Р,-; не содержит ни один из элементов U1 = а, аг = а~х, O1 = Ь и b2 = b~x. Поскольку at Є A1 = P11 -f- Pi2, имеем а,€Р,-А при кф\; аналогично bjdPhj для пфі. Либо i = k и /г = /, либо іфк и /г=/= /; в любом случае из системы (ff) получаем
D(P(U1), а{) + D (P (Ьу), by) = = Pik-P'ik + Phj-P'jH-a-X±!-b-X±x <0,
так что опять D (P (x), x) < О для некоторого x.
Переставляя, если нужно, а и т, можно предполагать, что х —это а или а~х, а согласно (**), можно считать, что х = а. В этом случае Р(х) —это P11 или P12, откуда, снова в силу (**), примененного к т, мы можем считать, что Р(х) = Р12. Далее имеем а ? В' и D(Af)B', а) < 0. Пусть Q = (Af)B', а) и W1 = WO; тогда |4yj|<|tt)|. Рассмотрим р,: = о-19 = (A' (JВ' — а~х, а); ясно, что OJ1 = Up1. Справедливы неравенства |до, |<|до], где W1 = W(Af) В', а) и v = w (В, Ь). Поскольку Af)B' и В имеют пустое пересечение, по случаю 4 можно найти р2, ..., pn ? Q, такие, что G-1T = р2... рп, причем Iw1P1 ... р(-| < \w\ для всех О < і < п. Последовательность plf р2, ...,р„, таким образом, удовлетворяет заключениям леммы. ?
Предложение 4.19. Пусть W1 и W2 — элементы свободной группы F. Тогда алгоритмически разрешима проблема существования автоморфизма группы F, переводящего W1 в W2.
? Мы можем предполагать, что группа F конечно порождена. Обозначим через (Ky1) и (w2) циклические слова, ассоциированные с Wt и w2. Поскольку имеется лишь конечное число преобразований Уайтхеда, методом проб и ошибок можно проверить, уменьшает ли какое-либо из них длину слова (W1), и, если это так, заменить (W1) на один из более коротких образов; итак, слово (W1) можно заменить циклическим словом, длина которого уже не уменьшается преобразованиями Уайтхеда. Согласно предложению 4.17, (W1) теперь имеет минимальную длину среди всех его образов под действием группы Aut (F). Можно предполагать, что и (w2) минимально в том же смысле. Автоморфизм, переводящий (W1) в (W2), существует только в том случае, когда эти элементы имеют равные длины;
