Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Линдон Р. -> "Комбинаторная теория групп" -> 27

Комбинаторная теория групп - Линдон Р.

Линдон Р., Шупп П. Комбинаторная теория групп. Под редакцией Ремесленникова В.Н. — М.: Мир, 1980. — 447 c.
Скачать (прямая ссылка): kombinatornteor1980.djvu
Предыдущая << 1 .. 21 22 23 24 25 26 < 27 > 28 29 30 31 32 33 .. 202 >> Следующая

(Л, а)-1 (В, a) = {A, a)~l(B', a) (L-а, а) =
= (А + В'-a,a)(L-a,a) = (A' [\В + а,а\
Случай 11.2.
Pi = [B, Ь), P2 = (A, а)-\
Цепь:
(А,а)-ЦВ,Ь) = (В,Ь)(А,а)-\
Случай 111.2.
р[ = (В,Ъ), р2 = (А, а)~1, P1 = (B1O)1 р, = (Л, а)-».
Цепь:
И, а)"1 (?, Ь) = (А, а)-1 (B', 5) (L-&, &) = = (B',b)(A, a)-i(L-b,b) =
= (В, Ь) (L-Ь, Ь) (А, а)-» (L-Ь, Ь) = = (В,Ь)(А,а)-К
Случай 11.3.
Pi = (B, Ь), р2 = (А +В-Ь, а)-\
Цепь:
(Л, а)"1 (?, 6) = (?, b) (В, b)-1 (А, а)-1 (В, Ь) = = (B,b)(A + B-b,a)-\
Случай 111.3.
р[ = (В', В), P2 = (А+ В' -Ь,а)-\ P1 = (B, b), P2 = (Л'ri?+ а)-К
4. Автоморфизмы свободных групп 65
Цепь:
(Л, а)"1 (В, ft) = (Л, а)"1 (B', ft) (L-ft, ft) = _
= (В»(Л + 5' — Zj1 Ci)^(L-O, ft) =
= (В, b)(L-b,b)(A + B' -b, a)-x(L—m)=-
= (В, ft) (Л'Г) ?+ ft, а)-1.
Случай TIA.
P1 = (Л + В — а, Ь), P2 = (Л, а)-1;
он получается из 11.3 перестановкой а и т. Случай III.4.
Рі' = (Л + о'-а, ft), pi= (і4, а)-1;
Рі = (і4'ПО + а, ft). P2 = И. а)-1-
Цепь:
(Л, a)-l(?, ft) = (Л, fl)-i(fl',Jj(L-F, ft) = _
= (A + B'-a, ft)(Л, O)-^L-O1 ft) =
= (Л'Г1В + а, ft)(L-ft, о)(Л, a)-!(L-ft" ft) = = (Л'ПВ + а, &)(Л, a)-1.
Случай II.5. Здесь выделяется два подслучая (см. доказательство случая 4 в лемме 4.18).
Случай 11.5а. _
\w(B, а)|<|ш|.
Здесь P1 = (A + В — а, а), р2 = (а, b, a,b), p3 = (B — a + a — b+b,a). Цепь:
(Л, a)-l(B, Ь) = (А — а+а, а){В, a)(B—a + a, а)(В, ft) = = (А + В—а, а)(В— а+ а, а)(В, ft) = = (А + В — а, a)(a,~b, a, b)(B — a + a—b + b, а). Случай II.5Ь.
\w(A,~b)\<\w\.
в силу симметрии имеем
P1 = (Л —a+a, ft), P2 = (a, ft, a, ft), р3 = (Л + В—ft, ft).
Случай 111.5а.
\w(B', a)J<H. P1=(A +В' —a, а), р2 = (a, ft, a, ft), p3 = (a + a — ft +ft, a); р, = (Л'П/і + а, a), Pj1 = (O, ft, a, ft), p3 = (? + ft —ft+ a —a, o).
3 653
66
Гл. I. Свободные группы и их подгруппы
Цепь:
(А, а)"1 (В, ft) = (Л, а)-1 (B', ft) (L-МО =
= (А + В' — а, a) (a, ft, a, ft) х
X(B' —a+a — b + b, a) (L — b, ft) =
= (А' П В + а, a) (L-a, a) (a, b, a, ft)x
X(B' -a+a — b + b, a) (L — b, ft) =
= (А'f]B + a, а)(а, b, a,b)(L — b,b)x
X(B' —a+a — b+b, a) (L — b, ft) =
=(Л' f]B + a, а) (а, Ь,Ъ,~Ь)(В + а~ — а+Ъ—Ь, а)'.
Случай III .5b.
\w(A, ft) I < I w\. Pl = (A — a + a, ft), рг = (a, ft, a, ft), p3 = (A + B' —b,b); p1 = (A — a + a,b), p2 = (a, ft, a", ft), p3 = (A' f]B + b, ft).
Цепь:
(Л, a)-1 (/3, ft) = (Л, a)-1 (?\ ft)(L-ft, ft) =
= (Л— a + a, b)(a, ft, а, 6)(л + в'-&, ft) (L-ft, ft) = = (Л—a + a, ft)(a, ft, а, &)(Л'пЯ + &, ft)-
Итак, рассмотрение частных случаев завершено. При рассмотрении общего случая, когда ни одно из соотношений Af] B= 0, AsB, BsA не имеет места, мы, как и в доказательстве леммы 4.18, видим, что некоторое IQy(P(x)1x)I меньше что позволяет, переставляя, если нужно, а и т, предполагать, что X = а либо X = а, т. е. что |м)л|<|до|, где л —одно из преобразований (Af]B, a), (Af]B', a), (A' П В, а) или (Л'ri?', a). Отсюда следует, что |дол|<|до|, где л — одно из преобразований (Af]B, a), (Af]B', а), (Л'ri?, а) или (A U В, а). Если л имеет последнюю из приведенных форм, положим U1 = Wn, откуда U1 = Ua^n. Согласно II.1 или III.1, видим, 4TOo-1H = P1 выполняется по модулю jV2 для некоторого P1 ^Q и фактически P1^jQ', если о, TgQ'. Теперь из II или III следует, что л-1т = р2...рг в соответствии с леммой, откуда, как и требуется, о_1т =
= P1 ¦••Pr- ?
Непосредственным следствием предложения 4.22 является
Предложение 4.23. Пусть U=(U1, ит), V = (d11 vm)
и IV = (m)1, .. ., W1n), где U1, V(, W1-— элементы группы F, и пусть о, TgQ таковы, что Ui = W1O, Vi = Wi% при І^г'^т. Полагая IW I — 21 wi I' предположим, что \U \, |V|^|IV| и что либо
4. Автоморфизмы свободных групп
67
IfJKIWI, либо \V\<\W\. Тогда найдутся рх, .... pr?Q, такие, что соотношение о-1т = р, ... рг выполняется по модулю N2, a I Up1 ... pi I < I W I для всех О < і < л.
? Пусть F* — свободная группа с базисом Л"*= {^1, .¦.,Xn+1}; тогда все и,-, у,-, до,- лежат в F = F*. Определим циклические слова
U = {U1Xn+1 . . . UnXn + 1), V = (u1xn + 1 . . . VnXn + 1), W = (W1Xn + , . . . W1nXn + 1)
в группе F. Тогда и = wo, v= wx, \и\, \v\^.\w\ и либо |«|< <|до|, либо |у|<|до|. По предложению 4.22 существуют P1,... .. ., pr?Q', такие, что соотношение O-1T = P1 . .. рг выполняется по модулю N2, причем I ыр, ... P1-1 < I до I для О < і < г. Но из I «P1 ... р,-1 < І до I вытекает, что | Up1 ... р,-1 < | W |. ?
Предложение 4.24. Пусть U = (U1, ...,ит), где все ut лежат в F, и предположим, что a ^AUt(F), таков, что \Ua\^.\U \. Тогда a = P1 ... pr, р,- ? Q, причем \ Up1 ... р,-1 | U \ для 1 ^ і ^ ^r, и равенство строгое, кроме случая \ Ua\ = \U \.
? Это вытекает из 4.23 точно так же, как 4.17 вытекает из 4.18. ?
Предложение 4.25. Пусть U=(ult . . . , ит), V=(V1, . . . , vm), где все Ui, Vi лежат в F. Тогда алгоритмически разрешима проблема существования a?kui(F), такого, что Ua=V.
? Это вытекает из 4.24 точно так же, как 4.19 вытекает из 4.17. ?
Следующее предложение является первоначальной версией результата Маккула о представлении группы автоморфизмов свободной группы порождающими и определяющими соотношениями.
Предыдущая << 1 .. 21 22 23 24 25 26 < 27 > 28 29 30 31 32 33 .. 202 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed