Комбинаторная теория групп - Линдон Р.
Скачать (прямая ссылка):
Предложение 5.1. Пусть F — некоторая свободная группа ранга 2 с базисом{х, у}, и пусть w — циклическое слово, определенное коммутатором [х у]. Тогда любой автоморфизм группы F переводит w в w или w'1, откуда следует, что Aw — группа SA (F) собственных автоморфизмов группы F, имеющая индекс 2 в Aut (F).
? Несложной проверкой убеждаемся в том, что каждый элементарный НИЛЬСеНОВСКИЙ аВТОМОрфиЗМ переВОДИТ WBW или W'1,
причем собственные автоморфизмы оставляют w на месте, а несобственные переводят w в w~l. ? См. также Мальцев [1962].
70
Гл. I. Свободные группы и их подгруппы
Хорошо известно, что аналогичный результат не имеет места для свободных групп ранга, большего 2 (см. Магнус, Каррас и Солитэр [1974, стр. 175]). Этот же факт содержится в следующем предложении.
Предложение 5.2. Пусть F — свободная группа ранга не менее 2 uw — нетривиальный элемент этой группы, причем (w) — ассоциированное с ним циклическое слово. Тогда образ Аш стабилизатора Aiw) имеет бесконечный индекс в A=Aut(F)/JA (F), кроме того случая, когда w имеет вид w=lx, y]k, ІгфО, где {х, у} — базис группы F.
? Предположим, что группа A(w) имеет конечный индекс. Тогда орбита {(w)a; а ? Aut (F)} конечна и длины элементов (w)a ограничены, скажем \ (w)a\<iB для всех а ? Aut (F). Ясно, что w должно включать все образующие любого базиса для F. Предположим, что а, а-1, Ъ, с — различные элементы из Xі1, причем (w) имеет подслово be1. Если а — автоморфизм a: b>—>ba, то aN вставляет N букв а между b и с-1, ни одна из которых не может сократиться. Таким образом, \(w)aN\^N, где N произвольно, что противоречит условию \(w)aN\<.B. Фиксируя а, мы делаем вывод, что если Ьфа, а-1, то (w) не имеет подслова be1, где сфа, а'1, Ь. Однако приведенная форма для (w) не содержит подслова bb'1. Поэтому некоторое а'ФІ лежит между любыми последовательными вхождениями букв Ь, с1, отличных от а, а'1. То же самое рассуждение с заменой а на і показывает, что всегда і=±\. Поэтому третья буква, начиная с а, есть а или а-1 и аналогичное утверждение верно для Ь. Более того, если (w) содержало бы подслово aba, то применяя последовательно автоморфизм а: fli-> ab мы получаем \(w)aN\^N, что невозможно, как и выше. Таким образом, после возможной перестановки букв a, a'1, b, Ь'1 получаем ш=[а, b]k, афО. Наконец, {а, Ь} — базис, так как если бы. X содержало еще один элемент с, то, как и прежде, автоморфизм Ot^: а і—* ас1* давал бы слово (w)aN неограниченной длины. ?
В некоторых случаях Aiw) очень мал, и эти случаи в определенном смысле типичны.
Предположим, что слово w из F, свободной группы ранга п, таково, что любое преобразование Уайтхеда, не являющееся ни перестановкой множества Xі1, ни внутренним автоморфизмом, увеличивает длину этого слова. Из предложения 4.17 следует, что Аш содержится в образе в А подгруппы группы Aut (F), состоящей из автоморфизмов, переставляющих Xі1, откуда \АШ \^п\2". Два наименьших примера: (1) w=x3y3, где {х, у} — базис; в этом случае \Alw)\=2; (2) w=x2y2x~1y~1, где {х, у} — базис; тогда \АШ 1 = 1.
5. Стабилизаторы в Aut (F)
71
Другим примером обращения предложения 5.1 является результат Дэна, Магнуса и Нильсена (см. Магнус [1930]), согласно которому если F — свободная группа ранга 2 с базисом {х, у} и эндоморфизм а группы F оставляет на месте w=lx, у], то а — автоморфизм. Цишанг [1966] показал, что если F — свободная группа с базисом {хи ... , X4) и w=[xi, X2]. ¦ .[x2g-i, x2g], то каждый эндоморфизм, который оставляет на месте до, является автоморфизмом. Определение группы AiW) для до выписанной формы или для до= =х\. . .х'п соответствует одной известной проблеме, возникающей в топологии и анализе, в решении которой ощутимый прогресс был достигнут лишь в работах Маккула (см. 5.5).
Цишанг [1962] изучает стабилизатор Aw для w=x°l. . .хпп, где а{^\, в свободной группе F с базисом {xlt ...,хп). Как отмечено, случай, когда все at равны 2 (и п^З), является трудным. Если все at равны 1, т. е. W=X1.. .хп, то, как показал Артин [1947], Aw — это группа кос В. Если все at больше 2, то Цишанг [1962] показал, что Ат состоит из всех автоморфизмов вида xt у-* UiXtnuf1, где л — перестановка, причем эти автоморфизмы лежат в группе кос В.
Цишанг [1962] показывает также, что два элемента w=x"1 .. .хап" И Z=1X1 . . . Xfn свободной группы с базисом {xlt х2, ...}, где все <2j, bi больше или равны 2, эквивалентны относительно автоморфизма группы F тогда и только тогда, когда т=п и Ь( получаются перестановкой показателей at.
? Дадим набросок доказательства этого факта. Ясно, что если последнее условие выполнено, то до и 2 эквивалентны. Предположим теперь, обратно, что до и z эквивалентны. Нетрудно заметить, что длина любого из этих слов не может быть уменьшена преобразованиями Уайтхеда. По предложению 4.17 |до| = |г| и существует последовательность слов wlt=w, W1,... ,wt=z, таких, что всегда |дог| = |до| и (до,+1)=(до,-)а( для некоторого преобразования Уайтхеда
Ctj. ПуСТЬ ДЛЯ КаЖДОГО Xj ЧИСЛО ВХОЖДеНИЙ буКВ Xj и Xf1 в Wi есть
си; обозначим через С, упорядоченное множество (сп, ci2, ¦ ¦ ¦)¦ Если а; переставляет множество Xі1, то ясно, что Ci+1 — результат перестановки на множестве С,-. Если а, = (Л, а), где Ci=XJt1, то ясно, что все Ctj остаются без изменения при \фк. Поскольку |до|=2сг;-также остается без изменения, отсюда следует, что и cik не изменяется и Cj+1=Cj. Таким образом, С0=(аи ... , ап, 0, 0, ...) — перестановка множества Ct=(O1, ... , Ьп, 0, 0, ...). ?
