Комбинаторная теория групп - Линдон Р.
Скачать (прямая ссылка):
(L-а, а) = (Л, a) (L — Л — а + a, a) = (L — Л — а -f а, а) (А, а) =
= (Л, а)(Д', а)-1 = ^', аУЧЛ, а).
Для (R8), используя (R4), получаем
(A'-Ь,Ь)(А, а) = (А, a)(L-b-a,b),
откуда, согласно (R2),
(L-b, b)(A, a)(L-b, Ь) = (А+Ь,Ъ)(А'-Ь,Ъ)(А, a)(L-~b, b)'= = (A + b, b)(А, a)(L-b-а, Ъ)(L-Ъ—а, b) (a + b, b) = = (A+b, b)(A,a)(a + b,b);
из (R4) и (Rl) вытекает, что
(A+b, b) = (A—0 + 0,0)-1 (а+Ъ, b)(A—a + a, а) = = (A,a)(a + b,b)-i(A,a)-\
так что _
(L-b,~b)(A, a)(L-b, b) = (A,a).
Для доказательства (R9) заметим сначала, что по (R2) и (R6)
(L-Ь,Ъ)(А, a) = (L — b,l)(A—b, а)(а + Ь, а) =
= (A-b, a)(L — b, b)(a + b, а),
в то время как, согласно (Rl)1
(A', a)-1 = (A'-а + а, а).
Сочетая эти соотношения и используя (R2), получаем
(A', a)-1 (L — b, F)(A, a) = ^
= (L-a—b, a)(L—b — a, b)(a + b, b)(a + b, а).
Далее, согласно (R5),
(L-a — b, b)(L — a — b, a) = o(L—a — b, b),
62
Гл. I. Свободные группы и их подгруппы.
где а== (а, Ь, а, Ь). По (Rl)
(L-Ъ — Ь, ft)-1 (L-а — b, a) = o(L — a—b,Ъ)-1
и
(L-а — b, a)(L — b — a, b) = (L — a~b, b)a,
поэтому
(A', o)-1 (l-&,&)(л, 0) = (^-0-^)0(0 + 6, 5)(0 + 6, а). Снова используя (R5), получаем
о (а + 6, 6) (о + b, а) = а (а + 6, 6), откуда по (R2) и (Rl)
(Л',0)-1 (L-m) (A, a) = (L — ~а—Ь,Ъ) (а + Ь,Ь) (a+b, о) (о+6, о) =
= (L-6, Ъ).
Таким образом, (R9) доказано.
Если O1, ohQQ, то будем говорить, что соотношение
O1 ... аА=1 выполняется по модулю N2, если O1 ... OnQN2; другими словами, это соотношение является следствием соотношений (Rl) —(R6). Поскольку свободная группа F' с базисом A"' = {X1, Xn^1) является подгруппой группы F, естественно рассматривать Л' = Aut (F') как подгруппу в Л, а множество Q' преобразований Уайтхеда группы F' как подмножество в Q. Понятно, что означает равенство O1 ...ал=1 по модулю N2 для элементов O1, ..., on?Q'. Используя эту терминологию, мы можем сформулировать найденное Маккулом усовершенствование леммы 4.18.
Предложение 4.22. Пусть и, v, w — циклические слова группы F, такие, что U = wo, v = wr, где о, tQQ, \и\, \v\^.\w\ и либо |ы|<|ш|, либо |г/|<|до|. Тогда найдутся P1, prQQ, такие, что
(A) 0-1T = P1.. .р, и
(B) 1«P1.. .р, X I о> I для О < і < г.
Более того,
(C) соотношение о-1т = рі...рг выполняется по модулю N2;
(D) если о, т ? Q', то plt prQQ' и о—1T = P1.. .р, по модулю N2.
? Из доказательства леммы 4.18 следует в каждом случае существование последовательности plt ...,рг, такой, что O-1T = = рх...рг и I Up1.. .р,-1 < |до| для О < і < г. Назовем такую последовательность прямым путем. В некоторых случаях этот путь
4. Автоморфизмы свободных групп
63
удовлетворяет условиям (А) и (В). В то же время некоторые из этих путей получены заменой некоторого о = (А, а) на о = (A', а) или х = (В, Ь) на х = (В', Ь); если, скажем о QQ', то Xn^ А, откуда XnQA' и оQQ', так что полученный путь не обязан лежать в Q'. В каждом таком случае мы получим второй путь, который уже обязан лежать в Q'.
Заметим, что из соображений симметрии а и т можно переставить. Это позволяет нам рассмотреть лишь три частных случая, к которым сводится общий случай. Эти случаи таковы: случай I. XQQ1; случай II. о, XQQ2 и A f] B= 0; случай III. a, XQQ2 и A = B. Понятно, что в случае I лемма верна, если P1 = T1 P2 = T-1Ot. Мы перенумеруем подслучаи случаев II и III так, что если (А, а) и (В, Ь) попадают в подслучаи 11Li, то (А, а) и (B', Ь) попадают в подслучаи II.і.
Подслучаи 1 2 3 4 5
Случай II. АГ\В = 0 Ь=Га aQ В' aQB' aQB b фа, aQB
Iq А' Tq А FQ А' aQA
Случай III. A = B Ь=а OQ В aQB aQB b фа, ~a~QB
bQA' bQA bQA' bQA
Для каждого из случаев II.і путь plt рг, удовлетворяющий условиям (А) и (В), дается в доказательстве леммы 4.18. Рассмотрение показывает, что р, = (С, с) для каждого г, где С=А\}В, c = a±l, Ь*1; отсюда следует, что если о, xQQ', то каждое р,- лежит в Q', откуда P1, prQQ'. Чтобы доказать, что равенство O-1T = P1.. .рг выполняется по модулю N2, мы будем заменять получающиеся ниже цепи, заменяя L на V = X' (J Х'~1 и беря все дополнения в L'. При доказательстве (С) каждый раз будет предъявляться цепочка равенств, доказывающих, чтоо-1т = = P1.. .рг, причем дополнительным рассмотрением нетрудно установить, что каждый шаг получается применением одного из соотношений типов (Rl) —(R9).
В каждом случае III.і пара а, х попадает в случай II.і, что, как и выше, дает путь р[, ..., р'п, такой, чтоа-1т = р[. . .р'п. Из этого равенства, выполняющегося по модулю N2, мы получим подходящую последовательность р1( р„ и снова доказательство того, что выполняются условия (А) — (D). Для удобства мы будем рассматривать случаи в таком порядке: 11.1, 111.1.....111.5.
MKr 3t(jtM№'-' '"Raas; - - .»,-¦-:. -*>¦ ¦ ¦ - - f
64_Гл. I. Свободные группы и их подгруппы_
Случай 11.1.
Имеем r=l, pj = (^ + ?—а, а). Цепь равенств следующая:
(Л, а)~г(В, a) = (A-a + a, а~)(В, а)(А + В-а, а). Случай II1.1.
Снова г = 1, р! = (Л + ?' — а, а).
Согласно IIЛ, имеем а-1т = р; по модулю N2. Положим р, == = (А'г\В + а, а) и, используя предыдущее равенство, получим следующую цепь:
