Комбинаторная теория групп - Линдон Р.
Скачать (прямая ссылка):
76
Гл. I. Свободные группы и их подгруппы
предложений 4.18 и 4.26 следует, что R содержит определяющее соотношение вида г=т„тп+і(0і.. .ot)_1, такое, что \WH^1O1.. .о)\<. <Z\Wn\ при l<7==g7. В качестве петли р' предлагается взять петлю р, в которой ребра епеп + 1 заменены на путь с меткой O1.. .оу, для доказательства того, что такая петля р' имеется в К и что она гомотопна петле р, остается доказать, что для всех \<.i<.t имеем 1(Zn-1CT1... ...o,\ = \U\.
Однако WWn^1O1.. .о j\<\Wh\, т.е. z\Uh _tCi.. .Oj\ + \Zh ^1O1... . . .O7-KzI (71+2; отсюда следует, что Zl(Zn-1CT1. . .а;-|<г|{/|+Z(р). Предположим, что 1(Zn-ICT1.. .Oj]^l (ZI + 1; тогда приходим к ложному неравенству z(| (/| + 1)<г| (7|+z. Предложение доказано. ?
Похожим образом Маккул получает аналогичные результаты для подгруппы группы Л, осуществляющей перестановку элементов Ui и иг1, лежащих в наперед заданной группе; ему удается получить аналогичные результаты также для обычных, не циклических, слов.
В случае когда (Z состоит из единственного циклического квадратичного слова, Маккул (не опубликовано) показал, что Aut (F)=; =я[(/С0), где /C0 — конечный 2-комплекс, построение которого аналогично проведенному в предложении 5.7, но в котором, однако, вершины V и Vt соединены ребром, лишь когда т — элементарное нильсеновское преобразование.
Важное следствие результатов Маккула относится к группам классов отображений (см. обсуждение в книге Магнуса — Карра-са—Солитэра [1974, с. 182—189]). Пусть M — замкнутое 2-мно-гообразие; тогда группа классов отображений оМ(М) определяется как группа всех автоморфизмов многообразия M по модулю подгруппы тех из них, которые деформируются до тождественного отображения. По теореме Нильсена [1927] (см. также Харви и Маклах-лан, в печати) группа а/И(М) изоморфна группе Out (л. (ZW)) внешних автоморфизмов группы я (M) по модулю группы внутренних автоморфизмов. Далее, фундаментальная группа я (ZW) имеет представление я (M) = (X; г) с одним определяющим соотношением; по другой теореме Нильсена [1927] каждый автоморфизм группы я (ZW) индуцируется некоторым автоморфизмом свободной группы F с базисом X, причем этот автоморфизм обязательно должен оставлять на месте нормальное замыкание N элемента г. (Одно из доказательств этого было дано Цишангом [1966], доказательство с помощью теории малых сокращений дано Шуппом, не опубликовано.) Согласно одной теореме Магнуса (11.5.8), такой автоморфизм группы F обязан переводить г в элемент, сопряженный с г или г~х. Пусть Ац— стабилизатор неупорядоченной пары (Z= {(г), (г)'1}, где (г) и (г)-1 — циклические слова, определенные словами г и г-1. Рассмотрим группу Outy, равную Л у по модулю группы внутренних автоморфизмов группы F. Тогда имеется отображение / из Out^ на Out (л (M)), а
6. Уравнения над группами
77
значит, и на <М(М). Ядро К этого отображения было найдено Бирман [1969]; кроме тривиальных случаев, оно равно образу группы л (M) при естественном явном вложении g. Таким образом, во всех интересных случаях мы получаем точную последовательность
1 -> л (M) -> OuIy-X^(M) 1.
Отсюда следует, что группа <Л (M) конечно определена, причем такое представление может быть найдено эффективно. Аналогичные результаты верны и для более общего случая, когда M является фактор-пространством гиперболической плоскости под действием фуксовой группы.
Хатчер и Терстон (не опубликовано), используя теорию Морса, получили общую формулу, из которой единым образом вытекает конечная определенность этих групп.
6. Уравнения над группами
Проблема присоединения элементов к группам была поставлена Б. Нейманом [1943] по аналогии с соответствующей проблемой в теории полей. Например, если дана группа Gw ее элемент g g G, то можно спросить, вложима ли G в группу Н, в которой g является квадратом некоторого элемента х группы Н, g=x2. Рассмотрим более общую ситуацию. Пусть W — множество элементов Wj=Wj(yu ... • •• ,Vm-. Ii, • • • . In) свободной группы Ф с базисом у,, • • • , Ym. Ei,... , In, пусть G — данная группа Hg1.....gm — данные элементы этой группы. Тогда речь может идти об описании гомоморфизмов физФв некоторую группу Н, содержащую G, для которых Y,<p=g; и Wj(P=I при всех W]. Естественно называть W системой уравнений W](gu ¦ • ¦ , gm, Ii, • ¦ • ,In) = I с коэффициентами gt из G и неизвестными |h и называть множество элементов xh = ?,h(p «решением» этой системы.
Один из вариантов этой проблемы — решение уравнений в G, т. е. при наложении ограничения H=G, и тогда элементы xh = =1йФ должны быть найдены в самой группе G. Еще более частный случай получается, когда речь идет о решении систем уравнений W]=W](Ii, ... ,In) без коэффициентов. Эти последние проблемы, к которым мы вернемся позже, были почти полностью решены в том случае, когда IV состоит из единственного уравнения w=l, а группа G свободна.
Первый важный результат по проблеме присоединения элементов— это теорема Б. Неймана [1943], относящаяся к присоединению корней.
Предложение 6.1. Пусть G — произвольная группа и I — некоторое множество индексов. Пусть gi, t g /, — элементы из G, a mt — натуральные числа. Тогда G можно вложить в группу Н, содержащую элементы Xi, такие, что для всех і € / имеем хТ! = gi-
