Комбинаторная теория групп - Линдон Р.
Скачать (прямая ссылка):
74
Гл. 1. Свободные группы и их подгруппы
Из двух предыдущих результатов вытекает следующее
Предложение 5.5. Пусть F — свободная группа с базисом X и w — обычное слово, длина которого минимальна среди длин слов, сопряженных с ним под действием группы Aut (F), содержащее все элементы множества X. Тогда стабилизатор этого слова в Aut (F) является группой без кручения.
? Из предположений следует, что множество X конечно. Пусть а— элемент конечного порядка в стабилизаторе элемента w. По предложению 5.3 множество H неподвижных точек автоморфизма а является свободным множителем группы F. Отсюда следует, что H=F, поскольку w 6 Н, а по предложению 5.4 w не лежит ни в каком собственном свободном множителе группы F. Таким образом, а=1. ?
Заметим, что если F — свободная группа с базисом {х, у) и W — циклическое слово w=(xyx~1y~1), то w неподвижно при автоморфизме а: лл—>z/~\ yv-*-x порядка 4. В то же время верно следующее.
Предложение 5.6. Если w — циклическое слово минимальной длины, содержащее все элементы базиса группы F, и а — автоморфизм конечного порядка п, оставляющий на месте w, то п делит
? Пусть W= {W1,... , wm)—обычные слова, соответствующие слову w; тогда т делит \w\. Пусть G— группа, порожденная автоморфизмом а. Поскольку никакой нетривиальный элемент группы G не оставляет на месте ни одно из Wi, то каждая орбита под действием группы G на W имеет длину п. Таким образом, п делит т и, следовательно, ?
Наконец, мы приведем очень важную теорему Маккула [1975], относящуюся к описанию стабилизаторов в группе Aut (F) конечных последовательностей циклических слов.
Предложение 5.7. Пусть F — свободная группа с конечным базисом X, и предположим, что U=(U1, . .. , ит) — конечная последовательность циклических слов над X. Пусть Аи— подгруппа группы A =Aut (F), стабилизирующая каждое из слов Ui,... , ит. Тогда существует эффективная процедура, связывающая с каждым из таких множеств U конечное представление группы Аи.
? Мы дадим эффективную конструкцию конечного 2-комплекса К, фундаментальная группа которого изоморфна Аи. Вначале мы будем предполагать, что U минимально в том смысле, что | (7I = Iu1I +... . ..+|ыт| не может быть уменьшено никаким автоморфизмом группы F. В качестве множества вершин K0 графа К мы возьмем множество всех образов V=Ua, а ? А, таких, что |1/| = |(7|. Очевидно, что это множество конечно и по теореме Уайтхеда может быть
5. Стабилизаторы в Aut (F)
75
найдено эффективно. Образуем теперь 1-скелет К1 графа К введением направленного ребра e=e(V, т) от V к Vt, если V и Vt принадлежат K0, а т лежит в Q; положим е-1=(Ут, т-1). Снова ясно, что К1 конечно, причем его построение эффективно.
Определим теперь морфизм ф из группоида путей в К1 в свободную группу Ф с базисом Q, сопоставляя каждому ребру e=e(V, т) метку еф=т. Построение графа К завершается следующим образом: если р — (приведенная) петля в К1, метка рц> которой является одним из соотношений множества R предложения 4.26, то мы вводим 2-клетку с границей р.
Тождественное отображение множества Q индуцирует гомоморфизм 6 из Ф на Л. Если р — петля с вершиной в U в К, то, очевидно, рф0 — элемент подгруппы Ац. Более того, в силу предложения 4.26, если р и р' — гомотопные петли с вершиной в U в К, то рфб = =р'ф0. Таким образом, фб индуцирует гомоморфизм ф из л (К; U) в Аи.
Поскольку U минимально, из предложения 4.19 следует, что если I t/a| = I(71 для некоторого а из Л, то а =Т!.. .Tg, где tt лежат в Q и каждое Ut1. . .т, лежит в ZC0. Таким образом, существует петля р с вершиной в U в К, такая, что рф0=а. Это показывает, что ф — эпиморфизм.
Остается показать, что ф — мономорфизм, т. е. что если р — петля с вершиной в U в К, для которой рф9 = 1, то р гомотопна 1 в К,. Пусть такое р является произведением ех.. .ek ребер Єї с метками е*ф=тг из Q. Обозначим через Z множество всех циклических слов длины 2, т. е. Z=(XiXj-, і</), и пусть z(p)=max {IZt1111TjI; 0^^/?}. Будем вести доказательство индукцией по z(p).
Нетрудно заметить, что множество Z минимально, так что начальный шаг индукции состоит в том, что z(p) = |Z|. Понятно, что если |Za| = |Z| при некотором а^Л.то на самом деле a ^Q1. Таким образом, H3z(p) = |Z| следует, что все IZt1. . .т,| равны |Z|, откуда все t1.. .Tj лежат в Qj, так что и все т; лежат в Q1. В этом случае соотношение t1. ..тк = \ является следствием соотношений системы R1 из предложения 4.26. Поскольку ItZt1.. .т,-| = |?/|, то из построения графа К вытекает, что петля р гомотопна 1 в К-
Для проведения шага индукции предположим, что z(p)>|Z| и что наше утверждение верно для всех р', таких, что z(p')<.z(p). Пусть W=(U', Z)=(U, ... , U,Z), где часть U повторяется z= =г(р) раз. Будем писать U1 = Ut1. . .т,, Zj=Zt1. . .тг и Wi = Wt1. . л с, понятно, что W1=(UlZi) и \Wi\=z\Ui\ + \Zi\=z\U\ + \Zi\.
Пусть h — наибольший индекс, такой, что \Zh\=z\ поскольку Zu=Zh=Z, 0<h<.k. Достаточно показать, что петля р гомотопна петле р', такой, что значение г достигается величинами IZJI = = IZti. ..т-1 только для тех значений индексов Kh, для которых 12,|=г. По выбору числа/г имеем IW^1KIwJ и \Wh + 1K\Wh\. Из
