Комбинаторная теория групп - Линдон Р.
Скачать (прямая ссылка):
Из определения свободной группы F с базисом X следует, что любое отображение ф множества XbF определяет некоторый эндоморфизм группы F, который мы будем обозначать также буквой ф. Рассмотрим, в частности, следующие эндоморфизмы. Для любого X из X пусть ах — эндоморфизм, переводящий х в х-1 и оставляющий множество X — X на месте. Для любых х, у из X, таких, что хфу, определим как эндоморфизм, переводящий X в ху и оставляющий X — х на месте. В обоих случаях нетрудно заметить, что образ множества X снова является базисом, так что ах и $Хц — автоморфизмы. Покажем, что если множество X конечно, то эти автоморфизмы порождают Aut (F).
Доказательство этого факта весьма просто и по существу совпадает с доказательством аналогичного результата для линейных пространств. Однако уже в линейной алгебре возникает один момент, достаточно тривиальный, но могущий вызвать некоторую путаницу; несмотря на риск сделать из мухи слона, поясним, о чем идет речь. Стандартное рассуждение в линейной алгебре показывает, что произвольная матрица M элементарными преобразованиями строк может быть приведена к некоторой канонической форме M*, т.е. PM=M*, где P — произведение элементарных матриц. Если M квадратна и обратима, то М* = 1 (единичная матрица), и из равенства PM=M* = 1 получаем, что M=P-1. Это позволяет сделать вывод о том, что общая линейная группа порождена элементарными преобразованиями. Некоторая неясность в этом рассуждении возникает из-за того, что, применяя к M последовательные элементарные преобразования, мы строим произведение Р, перемножая элементарные матрицы, соответствующие этим преобразованиям, в обратном порядке.
Чтобы провести параллель наиболее ясным образом, введем матричные обозначения для эндоморфизмов свободной группы F относительно фиксированного базиса X. В качестве «матрицы» эндоморфизма ф мы рассмотрим упорядоченное множество U=(U1, и2, ¦ ¦ ¦), где Ui=Xi^ рассматривается как слово над X. Если ф — второй эндоморфизм, то есть два естественных способа применения эндоморфизма г|з к U; согласно первому, ?/ф=(«іф, u2ty, ...), в то время как, согласно второму, V=(V1, v2, ...), где каждое vt получается из Uj тем же способом, каким х$ получается из xj, т. е. если х;"ф=фг (xlt х2, ...), то V1=^t (U1, u2, ...). Проверка показывает, что С/ф — матрица, соответствующая произведению фоі|>, а V — матрица для фоф. Если мы отождествим эндоморфизмы с их матрицами (при фиксированном X, конечно), то проведенное обсуждение сводится не к чему иному, как к правилу перемножений матриц,
42
Гл. I. Свободные группы и их подгруппы
Заметим, что это «матричное» исчисление для эндоморфизмов свободной группы, несмотря на всю свою соблазнительность (см. статью Линдона [1966]), оказалось практически бесполезным, если не считать применения X. Нейман аналогичных идей при изучении многообразий [1969]. Обычная техника счета, так же как и понятия определителя, следа и т. д., очевидным образом отсутствуют. Часть из этой техники, однако, может быть использована, если заменить эти «матрицы» матрицами в обычном смысле над некоторым кольцом, например над целочисленным групповым кольцом группы FI[F1 F], как сделано в исчислении Фокса (см. 1.10).
В 1974 году Бирман показала, что если X1, ¦¦¦,Xn — базис свободной группы F и Ui, ..., Un — некоторые элементы из F, то эн-- доморфизм, определенный отображением Xi і—является автоморфизмом тогда и только тогда, когда якобиан Фокса с компонентами из группового кольца ZF обратим. Топпинг f1973] независимо доказал некоторые частные случаи этого результата. Было установлено, что если Ф — свободная метабелева группа с базисом Xi, ..., Xn и Ui, — элементы из Ф, то отображение, определенное посредством Xi і—> Ui, является автоморфизмом тогда и только тогда, когда якобиан Фокса, вычисленный на этот раз над групповым кольцом группы Ф/[Ф, Ф], имеет определитель ztg при некотором ^^ФЛФ, Ф] 1J.
Еще одно наблюдение. В обозначениях, введенных выше, применение элементарных нильсеновских преобразований типа (Tl) и (Т2) к U=(Ui, и2, ...) сводится просто к перемножению некоторых ах и $ху, т. е. к переходу от U к V=axU или V=$XVU. По этой причине мы будем говорить об а.х и fixy как об элементарных (регулярных) нильсеновских преобразованиях.
Теперь мы готовы доказать результат, о котором говорилось выше, но в слегка обобщенной форме.
Предложение 4.1. Пусть F — свободная группа с базисом X, и обозначим через Au^(F) подгруппу группы Aut(F), порожденную элементарными нильсеновскими преобразованиями ах и $ху. Тогда Autf(F) плотна в AUt(F) в том смысле, что если U1, ..., ип — элементы из F и agAut(F), то существует ??Aut^(F), такой, что W1Ci=MiP, una=un?. В частности, если F имеет конечный ранг, Aut, (F)=Aut (F).
? При доказательстве ограничимся рассмотрением более сложного случая бесконечного множества X= (X1, хг, ...). Найдется конечное подмножество У= (хи Xp) множества X, такое, что U1, ип
г) Аналогичное утверждение для групп вида Fl [N, N] доказано А. Ф. Красниковым (Мат. заметки, 1978, т. 24, № 2, с. 167—173).— Прим. ред.
