Комбинаторная теория групп - Линдон Р.
Скачать (прямая ссылка):
2. Метод Нильсена
19
В этом случае мы имеем право, применяя преобразования типа (Т2), не изменяющие 2|uj|, заменить х~1=ра~1 на (xy)~1=qa~x либо заменить z=qc элементом уг=рс. Чтобы устранить ситуацию, описанную выше, нам следует установить приоритет слов, левые половины которых начинаются со слова р, над словами, левые половины которых начинаются с q (или наоборот). Точнее, предположим, что множество X(JX-1 букв вполне упорядочено. Эта упорядоченность индуцирует лексикографическую полную упорядоченность u<C? на множестве приведенных слов из F. Назовем левой половиной слова да начальной отрезок L (да) длины [(|да|+ 1)/2]. Определим, наконец, полную упорядоченность пар {да, да-1}, полагая {W1, даг1}<{да2. W21} тогда и только тогда, когда либо m'm{L(wi), L(wi1)}<.min{L(w2), L(W21)}, либо эти два минимума равны и max{L (да,), L(w^)}<.max{L(w2), L(W21)}. Будем писать просто даі<да2, если {даь W^)K[W2, W21}. Предположим теперь, что х=ар~х, y=pq~x и z=qc, как и выше. Если p<Lq (лексикографически), то yz=pc<.z=qc; если же q<.p, то Xy=Oq-1^x=Up'1. Предположим, что множество элементов Ui преобразованиями (Т2) сделано минимальным относительно упорядоченности u<u'. При этом свойства (N0) и (Ni) сохраняются, а только что проведенное рассуждение показывает, что тройки х, у, z описанного вида встретиться не могут, так что выполнено и условие (N2). ?
Отметим, что во всех случаях, кроме U^ = [I}, условие (N0) является следствием условия (N2); действительно, если 1, u? U*1, а иф\, то тройка и, 1, и'1 нарушает условие (N2).
Следующий шаг в рассуждениях Нильсена мы проведем в слегка более сильной форме, с успехом использованной Цишангом для случая свободных произведений в 1970 году.
Предложение 2.3. Предположим, что U — (конечное или бесконечное) множество, удовлетворяющее условиям (N0) — (N2). Тогда с каждым и в U*1 можно связать словаа(и) и т(и),т(и)Ф\, такие, что равенство
и=а(и)т (и)а (w1)'1
приведено, и если
w=Ui ... ut, t^O, Ui Є и±г, где UtU1+1^l,
то m(ui), ..., m(ut) остаются несокращенными в приведенной форме слова да. [В более явной форме этот вывод может быть записан так: для любого і, Х^Л^Л,
M = IUi ... «,•-Ia(Uj)H-Im(Uj)H-Ia(Uf1)"1«,-+! ... ut\.\
? Для каждого и Є U±l определим а (и) как самый длинный начальный отрезок слова и, сокращающийся в произведении uu=^1,
20
Г л. I. Свободные группы и их подгруппы
V? U^1. По свойству (N2) начальный отрезок а(и) и конечный
ОТреЗОК (а(ц-1)-1 НЄ ИСЧерПЫВаЮТ U, Так ЧТО U = O(W)Zn(U)O(U-1)-1
для некоторого т(и)Ф\. Если теперь w означает то же, что и выше, обозначим через w' результат произведения в неприведенном слове
U1 ... Ut ВСеХ СОКраЩеНИЙ Между СОСеДНИМИ СОМНОЖИТеЛЯМИ Ui,
ui + l. Тогда w'=m[ ... m't, где т\— средний отрезок слова uiy содержащий m(u(). Поскольку т\Ф\ и так как между т\ и m'i+l нет сокращений, хю' — приведенное слово, т. е. w' — приведенная форма слова w. ?
Следствие 2.4. Если U удовлетворяет условиям (NO) — (N2) u W=Ui ... ut, и, ? U±l, где все utui+1 отличны оті, то \w\~^t. ?
Предложение 2.5. Если U удовлетворяет условиям (N0) — (N2), то группа Gp(U) свободна, a U — ее базис.
? Это непосредственно следует из предложения 1.9 и следствия 2.4. ?
Предложение 2.6. (теорема Нильсена о подгруппах). Каждая конечно порожденная подгруппа свободной группы свободна.
? Пусть F — свободная группа с базисом X, и предположим, что подгруппа G порождена конечным множеством ?/с=/\ По предложению 2.2 U нильсеновскими преобразованиями может быть переведено в JV-приведенное множество V. По предложению 2.1 G= =Gp (U) = Gp (V). Согласно следствию 2.4, G — свободная группа с базисом V. ?
Предложение 2.7. Пусть F — свободная группа конечного ранга п. Тогда она не может быть порождена менее чем п элементами, и если U — множество из п элементов, порождающее группу F, то U — базис для F.
? Применим рассуждения из доказательства предложения 2.6 при дополнительном предположении G=F. По определению ниль-сеновских преобразований |УП^|?/|. Однако V—базис для F, откуда !VI =rank F=n, так что п<|(У|. Далее, если \U\=n, то \U\ = \V\, и, следовательно, ни одно из преобразований вида (ТЗ) не было применено при переходе от U к V. Тогда V является образом множества U при регулярном нильсеновском преобразовании, а значит, U — образ V при обратном регулярном нильсеновском преобразовании. В то же время, используя индукцию, нетрудно доказать, что образ базиса при регулярном нильсеновском преобразовании снова является базисом. ?
Предложение 2.8. Пусть F — свободная группа с базисом X, и допустим, что вектор U удовлетворяет условиям (N0) — (N2).
2. Метод Нильсена
21
Тогда Xі1 Л Gp (U)=X*1 П U±x. В частности, если U — базис для F, то X±i = ?/±i.
? Рассмотрим xgXnGp((/). Имеем X=U1 ... ut, t^O, U1^ и*\ причем все utui + 1 отличны от 1. Согласно следствию 2.4, I=IxI^/, откуда ^=I и X=Hi € U±x. Отсюда следует, что X=411MGp(CZ)s sX^mCZ*1. Обратное включение очевидно. Если Gp (U)=F, то Х^еС/=4=1. Обратное включение снова очевидно (например, вследствие предложения 1.1). ?
