Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Линдон Р. -> "Комбинаторная теория групп" -> 5

Комбинаторная теория групп - Линдон Р.

Линдон Р., Шупп П. Комбинаторная теория групп. Под редакцией Ремесленникова В.Н. — М.: Мир, 1980. — 447 c.
Скачать (прямая ссылка): kombinatornteor1980.djvu
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 < 5 > 6 7 8 9 10 11 .. 202 >> Следующая

с N'=!\f—4, что снова противоречит минимальности числа N.
Имеется и другое, принадлежащее ван дер Вардену [1948], доказательство того же факта (см. также Артин [1947]). Для каждого х?Х определим подстановку хД на множестве W0, полагая w(xA)=wx, если wx — приведенное слово, и w(xA)=u, если да= =--их~х. Пусть П — группа подстановок множества W0, порожденная подстановками хА, х?Х. Обозначим через А* мультипликативное продолжение отображения А до отображения A*: W->U. Если их~и2, то МіА*=«2А*; более того, 1 («А*)=и0 — приведенное слово, такое, что u0~u. Отсюда следует, что если U1 и и2 — приведенные слова и U1^u2, то U1=U2. Отметим, что А* индуцирует изоморфизм группы F=W/~ с П.
Предложение 1.6. F — свободная группа, базисом которой является множество [X] классов эквивалентности элементов из X, причем \[Х\\ = \Х\.
? Предположим, что H — произвольная группа, и пусть ф отображает множество [X] классов эквивалентности элементов х ? X в Н. Для доказательства равенства |[Х]| = |Х| заметим, что если X1,
1. Введение
15
X2 6 X, причем X1^x2, то UJtMjCu], поскольку однобуквенные слова Xi и х2 приведены. Тогда ф определяет отображение ^1. Х-+Н, при котором [х]ф=л;фі. Определим продолжение фх* отображения ^1
из WbH, полагая mfl—(xei ... Хл")фГ=(хіфі)ві ... (XnIf1Y", X1 Є X, ві = ±1. Если W1 и W2 эквивалентны, то Шіф*=да2ф*, так что ф* отображает эквивалентные слова в один и тот же элемент группы H и, следовательно, индуцирует отображение ф* : F-*-H, очевидно, являющееся и гомоморфизмом и продолжением отображения ф. ?
Следствие 1.7. Для любого множества X существует свободная группа, для которой X — базис. ?
Предложение 1.8. Пусть ф — гомоморфизм группы G на свободную группу F с базисом X, и предположим, что ф отображает подмножество S группы G взаимно однозначно на множество X. Тогда подгруппа Gp (S) группы G, порожденная множеством S, является свободной группой с базисом S.
? Обозначим через ty: X-^-G отображение, обратное к ограничению отображения ф на S. -Тогда гр продолжается до гомоморфизма гь*: F-vG, причем его образом является Gp(S). Поскольку гь*ф действует на X тождественно, это тождественный гомоморфизм группы F, откуда следует, что яь* взаимно однозначно и, значит, является изоморфизмом из F на Gp(S), отображающим X на S. ?
Предложение 1.9. Пусть X — подмножество группы G, такое, что ХпХ-1 = 0. Тогда X является базисом некоторой свободной подгруппы G тогда и только тогда, когда нетривиальны все произведения вида W=X1 ... хп, где п^\, Xi 6 Xі1 и XiX1 + хф\ для всех і.
? Предположим сначала, что некоторое такое w равно 1. Пусть ф отображает X инъективно в базис Y некоторой свободной группы F. Поскольку (л^ф) ... (хп(р)Ф\ в F, отображение ф нельзя продолжить до гомоморфизма из Gp (X) в F. Таким образом, X не является базисом для Gp(X).
Предположим, что, напротив, ни для какого такого w не выполняется w=l. Пусть F — свободная группа с базисом Y и отображение ф: У->Х устанавливает взаимно однозначное соответствие между Y и X. Обозначим через ф* единственное продолжение отображения ф до гомоморфизма ф*: F-*-G. Если и — произвольное нетривиальное приведенное слово из F, то по нашему предположению w=u(p*=j^l; поэтому ф*—мономорфизм. Так как Y<p*=X, то /4p* = Gp(X) и ф*—изоморфизм из F на Gp(X), отображающий Y на X. Поскольку F — свободная группа с базисом Y, то Gp (X) — свободная группа с базисом X. ?
Слова представляют элементы свободной группы F с данным базисом X примерно в той же степени, в какой матрицы представ-
16
Гл. I. Свободные группы и их подгруппы
ляют линейные преобразования. Так, о слове w мы часто будем говорить как об элементе w этой группы, но из контекста всегда будет ясно, о чем идет речь. Для экономии места в дальнейшем, когда мы будем говорить о свободной группе F, то будем подразумевать, что X — ее базис. Кроме того, в отличие от предыдущего, символ M будет обозначать впредь длину приведенного слова для да относительно базиса X.
Если и и V—элементы группы F, то всегда |hu|^|u| + |u|; в самом деле, предполагая слова и и v приведенными, мы можем найти Uu V1, г, такие, что U=U1Z1 v=z~1v1, причем слово UV=U1V1 приведено. При этом говорят, что части z и z~y сократились. Изучение возможностей для такого сокращения при образовании произведения двух или более слов лежит в основе метода Нильсена, к изложению которого мы сейчас и переходим.
2. Метод Нильсена
Основной инструмент при изучении свободных и некоторых близких к ним групп — это теория сокращения. Пусть F — свободная группа с базисом X. Слова да над X представляют элементы группы F, а символ |да| обозначает длину приведенного слова, эквивалентного да. Будем говорить, что произведение W=U1 ... Un приведено (или что это равенство приведено), если не только в F справедливо равенство W=U1 ... ип, но и M = Iu1I + .. .+IunI; скажем также, что это равенство выполняется без сокращения (справа). В общем случае, если U1 и u2 — некоторые элементы из F, то существуют однозначно определенные аь а2 и Ь, такие, что U1=U1O'1, Wt=bait U1U2=U1Oz, где все произведения приведены. Будем говорить, что подслово Ь-1 слова U1 и подслово b слова и2 сократились. Отметим, что 1 UiU2I = \и1\ + \и2\—2|ft|^|uil + |u2|. При перемножении более чем двух элементов положение, естественно, может оказаться" намного более сложным. Метод Нильсена основывается на том факте, что некоторые разумные предположения ограничивают возможности для такого сокращения; в частности, некоторые локальные предположения о величине сокращения в произведении двух или трех сомножителей ведут к глобальным выводам о величине сокращения в произведении произвольного числа сомножителей.
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 < 5 > 6 7 8 9 10 11 .. 202 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed