Комбинаторная теория групп - Линдон Р.
Скачать (прямая ссылка):
Подобные рассуждения, связанные с сокращением, были впервые применены Нильсеном для доказательства теоремы о подгруппах. Эта теорема, грубо говоря, связана со следующей проблемой: для данного подмножества U свободной группы F требуется охарактеризовать элементы подгруппы Gp (U), порожденной этим множеством. Столь же важной проблемой является характеризация элементов нормального замыкания множества UbF. Рассуждения Нильсена вполне можно назвать линейными, поскольку в них
2. Метод Нильсена
17
существенно участвуют линейные массивы символов и преобразования этих массивов. Напротив, решение второй проблемы естественно ведет к рассмотрению двумерных конфигураций и того, что можно назвать геометрической теорией сокращения. Здесь мы будем заниматься исключительно линейной теорией; о геометрической теории речь пойдет в главах III и V.
Такими методами в 1921 году Нильсен впервые доказал, что каждая конечно порожденная подгруппа свободной группы сама является свободной группой; это теорема Нильсена о подгруппах. Шрайер (см. 3.8), используя несколько иные методы, доказал то же самое утверждение без предположения о конечной порожденное™; это утверждение называется теоремой Нильсена — Шрайера о подгруппах. Она может быть получена также и обобщением метода Нильсена (см. предложение 2.9). Однако идейно наиболее простыми ее доказательствами являются доказательства, основанные на применении несложных топологических рассуждений (см. III.3.3). Мы приводим здесь вариант нильсеновскогодоказательства теоремы о подгруппах отчасти из-за его элементарности, отчасти ввиду его тесной аналогии с известными методами из линейной алгебры, но главным образом ввиду многих важных приложений вводимого метода.
При рассмотрении подмножеств группы G часто технически удобно мыслить их вполне упорядоченными, т. е. считать их векторами вида U=(U1, и2, ...) конечной или бесконечной длины. Впрочем, это не значит, что мы не будем использовать тот же символ U для обозначения соответствующего неупорядоченного множества, а в дальнейшем во многих случаях нам будет удобнее работать с множеством U±1, состоящим из элементов и и и'1, где uG U.
Определим три типа преобразований вектора U=(U1, и2, ¦..):
(Tl) заменить некоторый U1 элементом иу1;
(Т2) заменить некоторый элемент U1 элементом utUj, где ІФ\;
(ТЗ) ВЫЧерКНуТЬ НеКОТОрЫЙ Элемент Ui, ЄСЛИ Ui=I.
Bo всех трех случаях имеется в виду, что элементы uh при Ьфі остаются неизменными. Эти преобразования называются элементарными нильсеновскими преобразованиями; произведение таких преобразований называется просто нильсеновским преобразованием, регулярным в том случае, когда отсутствуют сомножители типа (ТЗ), и сингулярным в противном случае.
Легко видеть, что каждое преобразование типа (Tl) или (Т2) имеет обратное, также являющееся регулярным нильсеновским преобразованием, откуда следует, что регулярные нильсеновские преобразования образуют группу. Легко также видеть, что эта группа содержит любую перестановку, оставляющую на месте почти все элементы Ui, а также содержит преобразования, перево-
18
Гл. I. Свободные группы и их подгруппы
дящие Ui в один из элементов UiUj, UtUJ1, UjUi, UJ1U1, где \Фі (причем uh остаются на месте при ІгФі). Мы иногда будем расширять наше определение и причислять только что упомянутые преобразования к регулярным элементарным нильсеновским преобразованиям.
Предложение 2.1. Если U переводится в V некоторым нильсеновским преобразованием, то Gp (U)=Gp (V).
? Утверждение очевидно для любого элементарного нильсенов-ского преобразования и, следовательно, может быть доказано методом математической индукции. ?
Рассмотрим теперь вектор U=(U1, и2, ...), где каждое иг лежит в свободной группе F с базисом X. Как обычно, обозначим через длину приведенного слова, представляющего w. Рассмотрим элементы U1, v2, V3 вида ufl и назовем вектор U N-приведенным, если для любой такой тройки выполняются следующие условия:
(NO) u1=^l;
(Nl) u1u2=^l влечет за собой Iu1u2I^Iu1I, Id8I;
(N2) u1u2=^=I и u2u3^l влекут за собой Iu1u2u3I^u1I—|и2| + |и3|.
Предложение 2.2. Конечный вектор U=(U1, ..., Un) может быть нильсеновскими преобразованиями переведен в N-приведенный вектор V.
? Предположим сначала, что U не удовлетворяет условию (N1). Тогда, возможно после перестановки на множестве U*1, получим \uitij\<.\Ui\, где UiU/ФІ. Поскольку ясно, что неравенство |и2|<;1«1 невозможно в свободной группе, то )Фі. Однако в этом случае преобразование (Т2), заменяющее ut на UiUj, уменьшает сумму 2|и,|. Опираясь на индукцию, можно предполагать, что эта сумма сведена к минимуму и, значит, что U удовлетворяет условию (N1). После преобразований вида (ТЗ) можно предполагать, что U удовлетворяет также и (N0).
Рассмотрим теперь тройку V1=X, v2=y, v3=z, такую, что хуф\ и угф\. По условию (Nl) имеем \ху\^\х\ и \yz\^\z\, т.е. часть элемента у, сокращающаяся в произведении ху, не превышает половины от у. То же самое можно сказать о части у, сокращающейся в произведении yz. Таким образом, мы получаем, что х=ар~х, y=pbq~1, z=qc и все произведения приведены, откуда xy=abq~x и yz=pbc, причем и эти произведения приведены. Если Ьф\, то произведение xyz=abc приведено, так что \xyz\ = \x\—|«/| + |z| + + |6|>|х|—IyI+ IzI, значит, (N2) выполняется для этой тройки. Предположим поэтому, что 0=1, т. е. что х=ар~х, y=pq~1, z=qc, и, следовательно, условие (N2) нарушено. Заметим, что |/?| = |о|^ <W/2, lzl/2 и рфЯ.
