Комбинаторная теория групп - Линдон Р.
Скачать (прямая ссылка):
3) Нам бы хотелось особо выделить книгу М. И. Каргаполова и Ю. И. Мерзля-кова [1977*]. В ней содержится концентрированное изложение основ теории групп, включающее ряд глубоких теорем. Несомненно, что эта сравнительно новая и еще недостаточно известная за рубежом книга сыграет важную роль как в формировании молодых математиков, так и в развитии самой теории групп.— Прим. ред.
10
Предисловие
БЛАГОДАРНОСТИ
Предложение написать такого типа книгу мы получили от Питера Хилтона, редактора шпрингеровских изданий, в письме, написанном в Монпелье. Весьма удачно поэтому, что готовая рукопись отсылается в издательство также из Монпелье.
Первый из авторов (Р. Л.) представил первоначальный вариант некоторой части этой работы на семинаре в Морхаус-колледже, Университет г. Атланты, осенью 1969 г. Более поздние варианты были разработаны и представлены на лекциях в Мичиганском университете, а также во время короткого визита в колледж Куин Мери, Лондонский университет. Большая часть работы была проделана в Лангедокском университете науки и техники, Монпелье, в 1972/73, а также в нынешнем учебном году; в течение короткого времени работа проводилась в Бирмингамском университете. Автор благодарит эти университеты, а также Рурский университет, Бохум, за гостеприимство. Он с благодарностью отмечает также поддержку Национального научного фонда (США) и Совета по научным исследованиям (Великобритания).
Второй автор (П. Ш.) благодарит Иллинойсский университет за то, что был направлен в Центр высших исследований при этом университете на 1973/74 академический год. Он также благодарен за теплый прием в различные периоды подготовки этой книги, оказанный колледжем Куин Мери, Лондон, и Манитобским университетом.
Мы оба/весьма обязаны коллегам и студентам как упомянутых, так и некоторых других университетов за обсуждения и критику. За помощь в подготовке рукописи мы благодарим госпожу Баррьер и госпожу Монд. Мы благодарим д-ра Алису Петере и Роберто Минио из издательства «Шпрингер» за большую помощь и проявленное терпение.
Р. Линдон, Монпелье, 1974 П. Шупп, Урбана, 1974
Постскриптум, февраль 1977. Перед отправкой рукописи в набор мы получили возможность сделать ее более современной за счет небольших вставок в текст книги и пополнения библиографии.
Глава I
СВОБОДНЫЕ ГРУППЫ И ИХ ПОДГРУППЫ
1. Введение
Говоря неформально, группа является свободной на некотором множестве порождающих, если между этими порождающими нет никаких соотношений, кроме тривиальных, т. е. таких, которые имеют место между элементами произвольного множества в произвольной группе. Мы уточним это определение следующим образом.
Определение. Пусть X — подмножество некоторой группы F. Тогда F называется свободной группой с базисом 1J X, если выполняется следующее условие: для любого отображения <р множества X в группу H существует его единственное продолжение ф*, являющееся гомоморфизмом группы F в группу Н.
Заметим, что требование единственности продолжения ф* эквивалентно тому, что X порождает группу F.
Предложение 1.1. Пусть F1 и F2 — свободные группы с базисами X1 и X2 соответственно. Эти группы изоморфны тогда и только тогда, когда множества X1 u X, имеют одинаковую мощность.
? Предположим, что Д — взаимно однозначное отображение множества Xi на множество X2. Положим Z2=Zf1. Тогда отображения Zi и Z2 определяют отображения ф^ Xx-^F2 и ф2: X2-^F1. Эти последние продолжаются до гомоморфизмов ф*: F1-^F2 и фа": F2-^-F1. Однако гомоморфизм ФІФ2: F1-^-F1 действует на множестве Хц как тождественное отображение f\f2=ix, иі следовательно, является продолжением отображения вложения X1-^F1. Поскольку тождественный гомоморфизм iPi : F1-^-F1 также продолжает это отображение вложения, то, согласно требованию единственности, ф'фг =*'/?,• Аналогично ф2фі=^а- Отсюда вытекает, что фі — изоморфизм группы Fx на группу F2.
l) В отечественной математической литературе приняты термины «система свободных образующих» или «свободное порождающее множество» и др. В то же время, если речь идет о свободных объектах в (квази)многообразиях, принят именно термин «базис» (см., например, Мальцев А. И. Алгебраические системы.— M.: Наука, 1970). Это последнее обстоятельство и краткость термина «базис», исключительно часто повторяющегося в тексте, определили наш выбор,— Прим, перев,
12
Гл. 1. Свободные группы и их подгруппы
Осталось показать, что группа F определяет кардинальное число |Х|. Подгруппа N группы F, порожденная квадратами всех элементов этой группы, нормальна, a F/N — элементарная абелева группа ранга |Х|. (Если множество X конечно, число \F/N\=2lXl конечно; если кардинальное число\Х\бесконечно, то \F/N\ = \X\.) ?
Следствие 1.2. Все базисы данной свободной группы F имеют одну и ту же мощность, называемую рангом группы F. ?
Заметим, что свободная группа ранга 0 тривиальна.
Предложение 1.3. Если группа порождается множеством из п элементов (п конечно или бесконечно), то она является факторгруппой свободной группы ранга п.
Предположим сейчас (это будет доказано в следствии 1.7), что для любого наперед заданного множества существует свободная группа, для которой это множество является базисом. Пусть группа G порождается множеством SsG, ISI =гс, и пусть / — взаимно однозначное отображение некоторого множества X на S. Рассмотрим свободную группу F с базисом X. Тогда отображение f определяет отображение ф: X-+G, а это последнее продолжается до гомоморфизма ф*: F->G. Поскольку образ S множества X при этом отображении порождает группу G, ф* отображает группу F на всю группу G. ?
