Комбинаторная теория групп - Линдон Р.
Скачать (прямая ссылка):
Класс свободных групп можно охарактеризовать и без использования базисов. Это вытекает из того обстоятельства, что в категории групп проективные объекты свободны.
Определение. Группа P называется проективной, если выполняется следующее условие: для любых двух групп G и Я и любых гомоморфизмов у из G на H и я из P в H существует гомофорфизм ф из P в G, такой, что фу=я.
Определение. Отображение р группы G на подгруппу 5 называется ретракцией, a S называется ретрактом группы G, если р2=р или, что то же самое, ограничение отображения р на S тождественно.
Предложение 1.4. Проективные группы — ато в точности рет-ракты свободных групп.
? Пусть P — проективная группа. В определении проективной группы положим H=P, я=ір (тождественное отображение группы P) и, используя предложение 1.3, возьмем в качестве G свободную группу с гомоморфизмом Y из G на Р. Согласно определению проективности, в этом случае существует ф: P-+G, такое, что (ру=іР. Рассмотрим R=Py^G и положим р=7Ф- Тогда Gp=Gyq>=P<p=R
Mb. :ш»вВ
1. Введение
13
и р2=уФ7Ф=уг'рф=7Ф=р. Таким образом, р—ретракция и R— ретракт группы G. Поскольку Pq>=R и фу = /р, то ф — изоморфизм из P на R. Поскольку, далее, R — ретракт свободной группы, то такова же и группа Р. ?
Отметим здесь, что подгруппа свободной группы, порожденная частью базиса, очевидно, является ретрактом, но не каждый ретракт свободной группы представляет собой группу такого вида; контрпример можно найти в книге Магнуса, Карраса и Солитэра [1974, с. 149].
Для доказательства следующего утверждения нужно использовать тот факт (см. предложение 2.11), что всякая подгруппа свободной группы свободна.
Следствие 1.5. Проективные группы свободны. ?
Вернемся теперь к вопросу о существовании свободных групп. Оно следует из общих принципов универсальной алгебры (см. Кон [1968]), но мы предпочитаем дать явную конструкцию. Пусть дано множество X; забегая вперед, назовем его элементы порождающими. Предположим, что Y — некоторое множество, не имеющее общих элементов с X, и между ними установлено взаимно однозначное соответствие Tj: X-*~Y. Если х Є X и хг\=у, то будем писать также уц=х (так что т) превращается в инволюцию на множестве X U У). Напишем при этом у—х~х, х—у1 и назовем элементы хну взаимно обратными. Будем писать также K=X-1 и Х±1==ХиХ-1. Элементы множества Xі1 — это буквы.
Слово — это конечная последовательность букв, W=(U1, ..., ап), ?ОЮ, 6 Xі1. Если м=0, то w=l — пустое слово. Множество W=W(X) всех слов является полугруппой относительно операции приписывания слов (это свободная полугруппа с единицей и базисом X±l). Вместо однобуквенного слова (at) мы будем писать просто at (возникающая при этом двусмысленность неопасна); это позволяет нам записать w в виде w—ax ... ап, т. е. как произведение од-нобуквенных слов. Продолжим инволюцию т) на W, полагая шт)«= =w~1=an1 ¦ ¦ ¦ а\~1. Понятно, что т| — инволютивный антиавтоморфизм: (Ml»)"1=»-1«-1, 1_1 = 1.
Определим длину \w\ слова w=ax ... ап как число \w\=n. Ясно, что |И1>| = |Ы| + М, 111=0.
Элементарное преобразование слова w состоит из вставки или вычеркивания подслова вида аа~х, а ?Х±1. Два слова Wi и W2 называются эквивалентными, wx~w2, если существует последовательность элементарных преобразований, ведущая от W1 к w2. Понятно, что это отношение эквивалентности на множестве W; более того, оно согласовано со структурой полугруппы с единицей с инволю-тивным антиавтоморфизмом на W: из U1^u2 и V1^v2 следует, что UiV1-^u2V2, а из «i~«2 следует, что U11^u21. Это позволяет перейти
14 Гл. /. Свободные группы и их подгруппы
к факторполугруппе F=Wj~, которая, очевидно, является группой. Убедимся в том, что она на самом деле является свободной группой, базисом которой служит множество образов элементов
Слово называется приведенным, если оно не содержит ни одного подслова вида оа-1, а^Х^1. Рассмотрим множество W0 приведенных слов. Покажем, что каждый класс эквивалентности слов из W содержит в точности одно приведенное слово. Прежде всего, понятно, что всякий класс эквивалентности содержит хотя бы одно приведенное слово, так как последовательным вычеркиванием подслов вида аа-1 можно от любого слова w перейти к приведенному слову. Достаточно теперь показать, что различные приведенные слова UHV неэквивалентны. Предположим, что u=wu w2, ¦. • .., wn=v — цепочка, ведущая от и к v, в которой каждое W1+1- получается из Wt элементарным преобразованием (l^t^n), причем число N=^\wt\ минимальное из возможных. Поскольку ифю и и, V — приведенные слова, то п>\, \w2\>\wi\ и |ш„_1|>|оуп.). Поэтому найдется номер і (1<0'<д), такой, что [wil^w^^, |а>,-+1|. Таким образом, W1^1 получается из W1 вычеркиванием подслова аа'1, a wt+i получается из wt вычеркиванием подслова bb~l. Если эти подслова совпадают, то ш,-_1=а),-+1 в противоречии с минимальностью числа N. Если эти подслова имеют общую часть, но не совпадают, то wt содержит подслово аа~га и wi+i полу-
чаются заменой этого подслова на а, так что снова W^1=W1+1. В оставшемся случае, когда указанные подслова не пересекаются, можно заменить wt результатом w' вычеркивания обоих этих подслов, ЧТО/ДаеТ ВОЗМОЖНОСТЬ ПОЛУЧИТЬ НОВуЮ ЦеПОЧКу Между UHV
