Комбинаторная теория групп - Линдон Р.
Скачать (прямая ссылка):
Рассуждение Нильсена было применено к случаю произвольных подгрупп свободных групп Федерером и Йонссоном [1950]. Доказательство, приводимое нами здесь, основано на использовании упорядоченности <.
Предложение 2.9. Допустим, что G — подгруппа свободной группы F. Для любого g?G определим Gg=Gp({h; Zi ? G и Zi<g}). Тогда множество A = {g; g?G и g^Gg} является N-приведенным базисом подгруппы G.
? Убедимся сначала, что А порождает G. Предположив, что это не так, рассмотрим наименьший элемент g из G—Gp (А). Поскольку все h?G, такие, что h<g, лежат в Gp(^), имеем g$?g. Однако в этом случае g ^ А по определению.
Предположим теперь, что хну — различные элементы множества А. ЕЛіи при любом выборе знаков є и S элемент (хеуъ)±1 меньше X либо у, то получаем противоречие. Например, если х<.у и ху<.у, то i/?Gp({x, ху}) в противоречие с включением у Є А. Теперь уже доказательство предложения 2.2 показывает, что множество А является ^-приведенным. ?
Федерер и Йонссон имели дело с более общей упорядоченностью. Они доказали следующее:
Предложение 2.10. Пусть G — подгруппа свободной группы F, вполне упорядоченная произвольным отношением <, таким, что IgI < IZiI влечет за собой g<h. Для любого g?G определим Gg = = Gp({/z; Zi(EG и Zi < g}). Тогда A={g; g?G и g$Gg} является базисом для G. ?
Из предложения 2.9 немедленно вытекает теорема Нильсена — Шрайера о подгруппах.
Предложение 2.11. Произвольная подгруппа любой свободной группы сама свободна. ?
Обратимся к применению приведенных выше построений. Следующий результат принадлежит Нильсену (см. Федерер и Йонссон [1950, теорема 3.11]). Этот аналог теоремы из линейной алгебры
22
Г л. I. Свободные группы и их подгруппы
является лишь весьма частным случаем теоремы Грушко — Неймана (см. 111.3).
Предложение 2.12. Пусть ф — гомоморфизм конечно порожденной свободной группы F на свободную группу G. Тогда F обладает базисом Z=Z1UZ2, таким, что ф отображает Gp(Zi) изоморфно на G, а Gp(Z2) в 1.
? Рассмотрим некоторый упорядоченный базис X=(X1.....Xn)
группы F. Тогда последовательность (хіф, ..., хпц>) элементов группы G произведением элементарных нильсеновских преобразований может быть переведена в последовательность (и,, ..., ип), где для
некоторого т, 0 ^ т п, U1.....ит является /V-приведенным
базисом группы G и ит+1 = .. .=и„ = 1. В этом случае аналогичное произведение нильсеновских преобразований группы F переводит X в базис Z вида Z=(Z1, ..., Zn) группы F, такой, что ггф=ыг, I=O-=SCn. Предложение доказано. ?
Предложение 2.13 Допустим, что U есть N-приведенное подмножество свободной группы F и W=U1 ... ип, где каждое U1^ U*1 и никакое UiUi+1 не равно 1. Тогда \w\ ^ п и \w\ ^ Im1I.....IunI.
? В доказательстве предложения 2.3 мы видели (см. следствие 2.4), что некоторая часть каждого слова ut сохраняется в w, так что IM ^ п. Из того же рассуждения усматривается, что при переходе от Uj. . M] к Ui.. .UjUj+1 может сократиться не более половины слова Uj+1, так что |uj.. .U7I ^ I Uj... Uy+1I. Учитывая это и применяя умножение на Uj слева и справа, получаем сначала |Uj| ^ | UjUi+1| .. .. .^Iuj. . .un|, а затем и | U1.. мп\ <| U^1.. .un|^... < lui.. .UnI = = Ы. ?
Хор [1976], используя абстрактные функции длины (см. 1.9 ниже), назвал множество U слабо приведенным, если никакое произведение иЬ ,. мг", п > 1, Uj ^ II, є; = ±1, uf• uef+l^l, не может быть короче никакого собственного подслова. Это понятие слабее понятия /У-приведенного множества, однако допускает более простые и изящны^ рассуждения. Существование слабо приведенного порождающего 'множества для произвольной свободной группы доказывается без труда и влечет за собой все обычные следствия.
Когда мы говорим об элементе w или множестве элементов Wi в свободной группе F с фиксированным базисом X, мы имеем ввиду, что заданы слова, представляющие эти элементы. Неважно, являются эти слова приведенными или нет. Таким образом, проблема равенства в свободной группе тривиальна: если дано слово w, то оно представляет элемент 1 группы F тогда и только тогда, когда его приведенная форма является пустым словом. Проблема сопряженности лишь чуть менее тривиальна.
2. Метод Нильсена
23
Предложение 2.14. Проблема сопряженности в свободной группе разрешима.
? Слово w=yx.. .уп, уі G X*1 называется циклически приведенным, если оно приведено и упуг Ф 1. Ясно, что любой элемент группы W имеет вид W=U-1W1O, где слово W1 циклически приведено. Если нужно проверить, сопряжены ли некоторые два слова, можно эффективно перейти к проверке сопряженности двух циклически приведенных слов, сопряженных с данными. Докажем индукцией по |с|, что если слова w и w'=c-1wc оба циклически приведены, то w' является циклической перестановкой слова w. Действительно, если сф\, \w'\ = \w\ и w циклически приведено, то должны быть сокращения либо между с-1 и w, либо между Wae, однако лишь между одной из этих пар. Если, скажем, имеет место первая из названных возможностей, то c=yd и w=yu (равенства приведенные), где у Є Xі1 и w' ==0""1«/-1 yuyd=d~l (uy)d, что позволяет применить предположение индукции. ?
