Комбинаторная теория групп - Линдон Р.
Скачать (прямая ссылка):
6. Подход Магнуса к группам с одним определяющим соотношением
Нами уже неоднократно упоминался общий метод, примененный Магнусом к проблемам теории групп с одним определяющим соотношением. Многие из этих проблем были успешно решены этим методом в работах как самого Магнуса, так и других авторов. Этот метод включает в себя некую редукцию, которая на практике не всегда достаточно элегантна, и некоторые из результатов, полученных данным методом, теперь доказываются более красивыми или более сильными методами. Тем не менее остаются и такие результаты, которые не удается получить сколько-нибудь отличными от исходного методами. Сам метод более или менее единообразен, и мы удовлетворимся здесь двумя примерами. Первый из результатов Магнуса, полученных этим методом,— теорема о свободе 5.1; два других важных результата, получающихся этим методом,— положительное решение проблемы равенства слов для групп с одним определяющим соотношением (5.4, 5.5, 5.6) и предложение 5.8. Приводимое здесь нами доказательство — это по существу первоначальное доказательство Магнуса теоремы о свободе; варианты этого доказательства дали Линдон [1972] (см. ниже) и Берне [1974]. Видоизмененный вариант его решения проблемы равенства слов приведен в разд. IV.5 ниже. Нами приведено здесь также практически первоначальное доказательство предложения 5.8, данное Магнусом.
Два вспомогательных результата играют существенную роль в рассуждениях. Первый—основная теорема Шрайера [1924], гарантирующая существование свободного произведения двух групп с объединенной подгруппой. Этот результат стал известен Магнусу лишь перед выходом статьи из печати, так что он смог лишь в подстрочном примечании отметить, что использование этого результата
6. Подход Магнуса
159
упрощает доказательство. Второй состоит в том, что свободная группа F с базисом X1, . .., хп всегда может быть вложена в свободную группу F' с базисом уи х2, ..., хп, в которой Ar1=JzJ" для произвольного положительного т; этот результат является следствием теоремы Шрайера, но еще легче получается из теоремы Нильсена о подгруппах. Из этого результата вытекает, что если г — некоторый элемент свободной группы F ранга больше 1, tq F всегда может быть вложена в свободную группу F', как и выше, причем сумма показателей некоторого элемента базиса группы F' в записи слова г оавна нулю.
Доказательство теоремы о свободе. Для іроведения доказательства методом математической индукции требуется доказать на первый взгляд более сильный результат 5.2. Понятно, что теорема о свободе содержится как частный случай в предложении 5.2. Чтобы подготовить почву, покажем, что 5.2 вытекает из предложения 5.1. Поскольку каждое следствие бесконечного множества соотношений является следствием некоторого его конечного подмножества, достаточно рассмотреть случай, когда / конечно, /={1, ..., «}. Случай /г=1 —это и есть іредложение 5.1, так что будем вести доказательство по индукции. Чожно предполагать, что R = {ru ..., rm), Oc1=I и а>т=п. Пусть \'=X—Yn, V = Y-Yn, R'=R—{rm}. Тогда представление C = = (X'; R') удовлетворяет посылкам предложения 5.2 при п'=п— 1, якуда по предположению индукции получается, что нормальное замыкание N' множества R' в свободной группе F' с базисом X' не содержит нетривиальных соотношений между порождающими Z= (X—Y) U Y1U ... U Yn^1. Таким образом, образ H' группы U=(Z) в G'—это свободная группа, базисом которой является )браз множества Z. Подобным же образом положим X"=X— (F1 (J ... ..UiV1), Y"=Yn и R"= {гт}. Тогда представление G"= (X", R") удовлетворяет условиям предложения 5.2 при п"=\, откуда следует, что образ Н" группы U в G" является свободной группой, базисом которой служит образ множества Z. Осталось с помощью теоремы Шрайера сделать вывод о том, что G является свободным произ-зедением групп G' и G", в котором объединены подгруппы H' и Я".
Если в обозначениях из 5.2 интервал /= (а, ..., со) не содержит п, то и> Є JV<]F' и по теореме Шрайера wQN'. В этом случае доказываемый результат устанавливается применением предположения индукции к G'= (X'; N'). Симметричным образом разбирается случай, когда J не содержит 1. В оставшемся случае /={1, ..., п} и доказывать нечего. Таким образом, доказательство эквивалентности предложений 5.1 и 5.2 закончено.
Начнем теперь доказательство предложения 5.1 индукцией по Длине слова г. Можно предполагать, что G= (X; г), где г — нетривиальное циклически приведенное слово, содержащее каждый
160 Гл. //. Порождающие и соотношения
порождающий из множества X. Сохраняя индексы для других целей, будем писать X={t, a, b, ..., г}. Случай, когда X= {t) и F1G — циклические группы, тривиален и содержит в себе базис индукции по |г|.
Рассмотрим сначала случай, когда сумма показателей при некотором порождающем, скажем /, в г равна нулю; это означает, что г лежит в нормальном замыкании F1 элементов a, b, ..., z в F. Тогда N<]Fi и, следовательно, w ? F1. Далее, F1 порождается множеством Xi элементов Ui = I-1CLt1, ..., Zi=t-ezt', i'?Z. Действительно, вставляя в нужных местах подходящую степень элемента t, можно произвольный элемент и из F переписать в виде u=tPu', где и' — некоторое слово над Xi. Если U^F1, то р=0 и и=и'. По критерию Нильсена X1 — базис группы Fi. Если s=u~lru, где и записано в виде u=t?u', как и выше, то s=u'-1rp«', где rp=t~prtP. Таким образом, N является нормальным замыканием в F1 множества R1= = {Гі=*-'г/«; і Є Z}.
