Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Линдон Р. -> "Комбинаторная теория групп" -> 65

Комбинаторная теория групп - Линдон Р.

Линдон Р., Шупп П. Комбинаторная теория групп. Под редакцией Ремесленникова В.Н. — М.: Мир, 1980. — 447 c.
Скачать (прямая ссылка): kombinatornteor1980.djvu
Предыдущая << 1 .. 59 60 61 62 63 64 < 65 > 66 67 68 69 70 71 .. 202 >> Следующая

4. Метод Райдемайстера — Шрайера
147
Предложение 3.1. Пусть G=F/N, a W и Si определены как выше; тогда G обладает свободной резольвентой вида
5Ї75Ї3 — W SlW SIlW ЭР —у ЭЦЭе —> WlWSl —>¦ ZG —> Z -* 0. ?
В связи с этим см. также работы Хьюза [1966] и Гильденхьюза [1976].
4. Метод Райдемайстера — Шрайера
Важный результат Райдемайстера [1932] и Шрайера [1927] позволяет из представления группы G и подходящей информации о подгруппе H этой группы получать представление группы Я. Исходная теорема Райдемайстера отличается от того варианта, который приводится нами, более слабой посылкой и более сложным заключением; с другой стороны, Магнус, Каррас и Солитэр (стр. 93) улучшили помещенные здесь результаты. Давно известно (см., например, Цишанг, Фогт, Колдьюи [1970]), что эти понятия имеют естественную геометрическую интерпретацию.
Напомним (см. 1.3.8), что шрайеровской трансверсалью подгруппы Я свободной группы F с базисом X называется подмножество TsF, такое, что для различных / из Г смежные классы Ht различны, объединение классов Ht равно F и каждый начальный отрезок элемента из T снова лежит в Т.
Предложение 4.1. Пусть G**F/N, F —свободная группа с базисом X, N — нормальное замыкание множества R в F1 ф — каноническое отображение из F на G. Пусть H — подгруппа группы G, H — ее полный прообраз в G относительно ф и T — шрайеровская трансверсаль для HeF. Для данного w из F определим wQT условием
Hw = Hw, wQT.
Для tQT и xQX положим
y(t, x) = tx(tx)-1, y(t, х~х) = tx~l (tiF1)-1 = у (tx-1, x)-1.
Тогда H обладает представлением H = (X*; Rl) следующего вида.
Пусть X1 состоит из всех элементов y(t, х)Ф\, где tQT, X QX, Xl — множество элементов у (г, х)*, находящихся во взаимно однозначном соответствии с аналогичными элементами из X1, и F1- свободная группа с базисом Х{. Определим функцию х из F в F1, полагая для w = yx.. .уп, y{QX\j X'1,
t(W)=y(l, M1)* ...у fa...У і-» У і)*- . ¦ У (Уі-.-Уп-!, Уп)*-
Тогда R* состоит из всех т(ггг-1), где tQT и гQR.
? В предложении 1.3.7 прямым применением метода Нильсена было установлено, что X1-базис свободной подгруппы F1
148 Гл. II. Порождающие и соотношения
группы F. Это позволяет, не внося неясность, упростить обозначения, отождествляя Xi с X1 и Fl с F1; таким образом, у (Z1 х)* = = y(t,x). Еще одно прямое вычисление, проделанное ранее, показывает, что т (ш) = ww~x, откуда, в частности, при w? H имеем т [W) = w. Далее N s Н, а тогда из Z Є Г, г ^R вытекает ZrZ-1 ? N и т(ZrJ-1) = trt~x. Поэтому R1 s N, и, следовательно, нормальное замыкание N1 множества R1 в F1 лежит в N. Для завершения доказательства будет достаточно показать, что и, обратно, NsN1. Пусть w?N, тогда ш является произведением сомножителей р = = иги~х, где и ^F, r?R±x. Поскольку p?NsH, то т(р)=р. Покажем, 4topGjV1. Если и==/, то Hu = Ht, u = ht для некоторого /igН. Тогда р = иги-1 = т(uru~x) = т(htrt~xh~x) = = т (Zi) т (ZrZ-1) т (Zi)-1 =/гт (ZrZ-1) Zi-1 G/V1. Поэтому NsN1. ?
Следующее предложение (Магнус, Каррас, Солитэр, [1974, стр. 99]) немедленно вытекает из приведенного рассуждения.
Предложение 4.2. Пусть H — подгруппа конечного индекса в группе G. Если G конечно порождена, то и H конечно порождена. Если G конечно представлена, то и H конечно представлена. ?
В заключение этого краткого обсуждения заметим, что преобразование т из свободной группы F с базисом X в свободную группу F* с базисом X* является первым примером того, что Магнус, Кар-рас и Солитэр назвали переписывающим процессом; этот процесс употребляется ими в значительно более общей ситуации.
5. Группы с одним определяющим соотношением
Группы с одним определяющим соотношением G= (X; г) привлекли к себе большое внимание. Исторически впервые ими заинтересовались по-той причине, что таковы фундаментальные группы 2-мпогообразий. Эти группы представляют собой также естественное расширение класса свободных групп, с которыми они обнаруживают определенное сходство; выяснилось, что в определенной степени они допускают явное описание.
Наиболее ранние результаты, относящиеся к классу всех групп с одним определяющим соотношением, были доказаны Магнусом более или менее единообразным методом. Этот метод использовал индуктивное рассуждение, которое требовало перехода к более широкому классу групп. Определим ступенчатое представление G= (X; R) следующим образом. Прежде всего допустим, что I=Z или / = {1, 2, . .., п) и что Y — подмножество в X, являющееся объединением непересекающихся множеств Y1, Пусть R =
= (0; / € J}> гДе J — линейно упорядоченное множество и каждое г] циклически приведено и содержит некоторый порождающий из Y. Для каждого Г/ обозначим через о,- наименьший индекс і, такой,
5. Группы с одним определяющим соотношением 149
что гj содержит порождающий из Y и а через со, — наибольший такой индекс I. Представление будет называться ступенчатым, если из j<Lk следует a,j<iah и cuj<a>h.
Ступенчатые представления интересны не только в связи с той ролью, которую они играют в проведении индуктивных рассуждений, но также и потому, что многие свойства, которыми обладают группы Gi = (X; г і) с одним определяющим соотношением, остаются верными и для них. Такие результаты, а также дальнейшее обобщение понятия ступенчатого представления можно найти в работе Линдона [1962].
Предыдущая << 1 .. 59 60 61 62 63 64 < 65 > 66 67 68 69 70 71 .. 202 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed