Комбинаторная теория групп - Линдон Р.
Скачать (прямая ссылка):
3. Накрывающие отображения
169
из я (С, и'), то p'f представляет элемент g'f* группы я (С, а), который лежит в Я.
Осталось показать, что образ группы л (С, v') при отображении f* есть вся подгруппа Я. Пусть p = et...en — петля с началом вив комплексе С, которая представляет элемент g из Я. Тогда ег...еп также представляет путь р. Так как et.. еп б Я, то путь р=е[.. .е'п с началом в v' в комплексе С, где ?;=(<?,•, He1...^1-1), есть на самом деле петля в С с началом в v', представляющая элемент g' из я. (С, v'), такой, что g'f* = g- ?
Тем самым подготовлено еще одно классическое и, возможно, наиболее естественное доказательство теоремы о подгруппах Нильсена и Шрайера.
Предложение 3.3. Каждая подгруппа свободной группы свободна.
? Пусть F = (X; 0) — свободная группа и Я —ее подгруппа. Тогда существует одномерный комплекс С (например, K(X; 0)), такой, что фундаментальная группа я (С, v) в любой вершине а изоморфна F. Поэтому мы можем считать Я подгруппой в я (С, v). По предыдущей теореме существует одномерный комплекс С", такой, что группа я (С, и') изоморфна Я. Поскольку С есть одномерный комплекс, то по предложению 2.1 группа n(C',v'), а значит, и группа Я свободна. ?
Теперь распространим предложение 3.2 на двумерные комплексы.
Предложение 3.4. Пусть С — связный двумерный комплекс, v — вершина в С, a H — некоторая подгруппа группы я (С, v). Тогда существует связный двумерный комплекс С и накрывающее отображение /: С-+С, переводящее некоторую вершину v' комплекса С в вершину v и индуцирующее изоморфизм /* группы я (С, v') на подгруппу H группы я (С, v).
? По предложению 3.2 можно построить накрывающее отображение f1 одномерного остова С'1 некоторого пространства С на одномерный остов С1 комплекса С, такое, что /1 отображает я (C'1, v') на прообраз Я' подгруппы Я в я (С, v). Расширим С'1 до двумерного комплекса С, a /1 — до отображения С на С следующим образом. Если р' есть замкнутый путь в С'1, образ которого р ограничивает грань D комплекса С, то введем грань D' комплекса С с границей р' и определим D'f=D. Это превращает / в накрывающее отображение из С на С.
Пусть р есть петля с началом в v из С, представляющая элемент h подгруппы Я группы л (С, v), а также элемент Я из прообраза Я* подгруппы Я в я (С1, v). Тогда /1* отображает некоторый элемент h' группы л (C'1, v') в Л, а значит, /* переводит образ элемента h*
170
Гл. III. Геометрические методы
в группе л(С, v') в элемент h из Н. Это показывает, что /* отображает л (С, v') на Н. По предложению 3.1 /* является мономорфизмом. ?
Следующее утверждение есть слабая форма теоремы Зайферта [1933] и ван Кампена [1933] о фундаментальной группе объединения пространств.
Предложение 3.5. Пусть двумерный комплекс С есть объединение связных подкомплексов C1, где і пробегает некоторое множество индексов I. Пусть, далее, v — общая вершина всех Сг, причем различные комплексы C1 не имеют других общих вершин. Тогда л (С, v) = *= * іє/я (Сі, V)—свободное произведение групп n(Cit v).
? Выберем максимальное дерево T1 комплекса Ci для каждого і 6 /. Тогда эти деревья имеют единственную общую точку V, а их объединение T есть максимальное дерево в С. Как и выше, существует единственный путь vx в T к каждой вершине х из С, а с каждым ребром е, идущим от X к у, мы свяжем элемент e=vx-e-vy~x группы Е=л(Сх, v). Для е из дерева Т, очевидно, е=1, остальные элементы е~ дают симметризованный базис L=X U Х~х для свободной группы F. Если Li есть множество таких элементов е для е из C4, то, очевидно, L есть дизъюнктное объединение множеств Lj1 а каждое множество Lt есть симметризованный базис для группы Ft=n (С1, v), рассматриваемой как подгруппа в F.
Осталось показать, что ядро N естественного гомоморфизма группы F=n(Cx, v) на G=n(C, v) есть нормальное замыкание множества R элементов из F, каждый из которых лежит в одной из подгрупп Ft. Но N является по определению нормальным замыканием элементов г из л (С1, v), определенных петлями р с началом в вершине V вида p=qsq~x, где q есть путь из v в некоторую вершину v', а s — граница, начинающаяся в v', некоторой грани D комплекса С. Заменяя элемент г сопряженным, мы можем считать путь q минимальным. Тогда при наших предположениях о С петля р должна целиком принадлежать некоторому комплексу Ct. Если p—e-i ... еп, то все в) лежат в C1, a r=ex ... еп, причем все в) принадлежат L1. Тем самым установлено, что G=n(C, v) есть* свободное произведение, как и утверждалось. ?
Ниже мы приводим доказательство теоремы Куроша о подгруппах, взятое непосредственно из книги Цишанга, Фогта и Кол-дьюи. Эта теорема часто формулируется более точно (см., например, Маклейн [1958]). Уточнения могут быть извлечены из приводимого здесь доказательства.
Предложение 3.6. Пусть G — свободное произведение групп Gt, где і пробегает множество индексов I, a H — подгруппа в G. Тогда H есть свободное произведение свободной группы и групп, которые
Р-МЛ
_3. Накрывающие отображения__171
сопряжены с подгруппами свободных множителей G1 группы G. ? По утверждению 2.3 для каждой группы G1 существует связный комплекс С,- с вершиной V1, такой, что G1-^n(C,-, с,-). Образуем комплекс С как дизъюнктное объединение комплексов С,-, соединенных ребрами е,- (выходящими из вершин V1) с общей вершиной v. Теперь группа G1 =\ л (C1, V1), очевидно, изоморфна группе я(C1, v), где C1 = CiUe1. По утверждению 3.5 л (С, v) = = * л (Ci, v), и мы можем предполагать, что G = л (С, v), а также G1- = л (Ci, v).
