Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Линдон Р. -> "Комбинаторная теория групп" -> 66

Комбинаторная теория групп - Линдон Р.

Линдон Р., Шупп П. Комбинаторная теория групп. Под редакцией Ремесленникова В.Н. — М.: Мир, 1980. — 447 c.
Скачать (прямая ссылка): kombinatornteor1980.djvu
Предыдущая << 1 .. 60 61 62 63 64 65 < 66 > 67 68 69 70 71 72 .. 202 >> Следующая

Очень сильный метод Магнуса сопряжен тем не менее с большими вычислениями. Некоторые из результатов, полученных этим методом, можно получить, и даже в большей степени общности, более прозрачными методами. Однако имеются и результаты, для которых иных доказательств не найдено. По этой причине мы формулируем ряд утверждений о группах с одним определяющим соотношением, а также о группах со ступенчатым представлением, не приводя их доказательств в этом разделе. В следующем разделе будут приведены два важных результата, иллюстрирующих маг-нусов метод доказательства.
Первый общий и притом один из наиболее поразительных и наиболее полезных результатов о группах с одним определяющим соотношением — это теорема о свободе, сформулированная Дэном и доказанная Магнусом [1930]. Несколько иное доказательство можно найти у Линдона [1972], см. также Шупп [1976]. Эта теорема является аналогом очевидного факта из линейной алгебры; кажется, ее название произошло из такой формулировки. Пусть G= (X; г) и соотношение г, которое можно считать циклически приведенным, содержит элемент л; из X. Тогда (образ множества) X—х— базис свободной подгруппы группы G. Дадим теперь формулировку, которая, очевидно, эквивалентна приведенной.
Предложение 5.1. Пусть F— свободная группа с базисом X иг — циклически приведенный элемент группы F, который содержит некоторый порождающий х из X. Тогда каждый нетривиальный элемент из нормального замыкания элемента г в F также содержит х. ?
На самом деле из доказательства Магнуса получается следующий более общий результат.
Предложение 5.2. Пусть (X; R) — ступенчатое представление (в тех обозначениях, в которых оно введено выше). Предположим, что некоторое следствие w множества R содержит порождающие У из Yi только для і из некоторого интервала а<л=?Сш. Тогда w является следствием тех г,, которые содержат порождающие у ад Yt лишь для і, лежащих в том же интервале. ?
150
шшшшюгы ііИіімщ—іпі іншії wi чшшм * - " ' -
Гл. II. Порождающие и соотношения
Непосредственным следствием теоремы о свободе является положительное решение проблемы простого присоединения корней в случае свободных групп (1.6).
Предложение 5.3. Пусть F — свободная группа, Wx.....Wn —
нетривиальные элементы этой группы и аи ап — ненулевые целые числа. Тогда группу F можно вложить в группу G, содержащую элемент g, такой, что Wiga\ ..., wnga"*=\.
? Пусть F — свободная группа с базисом X; эту группу можно вложить в свободную группу Fx с базисом Xi=X (J {х}, причем можно предполагать, что х(? X. Пусть r=WiXa\ ..., wnxa" — элемент группы F1, N — нормальное замыкание этого элемента в F1 и ф — каноническое отображение из F1 на G=FJN. Понятно, что г циклически приведено и зависит от образующего х группы F1. По теореме о свободе имеем W Л F=I. Однако в этом случае ф отображает F изоморфно в G, причем элемент g=xq> группы G очевидным образом удовлетворяет данному соотношению. ?
Типичный пример обобщения предложения 5.2 получен Линдо-ном [1962], причем в этом примере множества Y1 индексированы точками і n-мерного вещественного пространства, а интервал, упомянутый в предложении 5.2, заменен некоторым выпуклым множеством.
Естественно попытаться найти обобщение теоремы о свободе для свободных произведений. Пусть F=G1WG2 — свободное произведение иг — циклически приведенный элемент из F, не содержащийся в G1; можно было бы надеяться, что нормальное замыкание N элемента г в F не пересекается с G1. Однако это неверно, причем контрпример прост, хотя все известные контрпримеры относятся, по-видимому, к одному и тому же простому типу. Пусть G1 порождена элементом ^1 порядка 2, a G2 — элементом g2 порядка 3; положим r=gig2. Легко видеть, что N=*F. Шик [1962, 1973] изучал дополнительные условия на г, при выполнении которых требуемое заключение все же справедливо.
Второй основной результат в теории групп с одним определяющим соотношением — это решение Магнусом [1932] проблемы равенства слов для таких групп.
Предложение 5.4. Для каждого представления с одним определяющим соотношением разрешима проблема равенства слов. О
В соответствии с предыдущими замечаниями доказательство на самом деле дает нечто более сильное.
Предложение 5.5. Для каждого ступенчатого представления разрешима проблема равенства слов. ?
S. Группы с одним определяющим соотношением_151
Доказательство Магнуса на самом деле дает результат, который сильнее в несколько ином, более интересном направлении. Это так называемая расширенная проблема равенства слов или частный случай обобщенной проблемы равенства (проблемы вхождения).
Предложение 5.6. Пусть G=(X; г), X0 — рекурсивное подмножество множества X и G0 — подгруппа группы G, порожденная образом множества X0. Тогда разрешима проблема распознавания по элементу группы, представляет он элемент из G0 или нет. ?
Б. Ньюман [1968] доказал следующее обобщение сформулированного результата (решив одну проблему Линдона [1962]).
Предложение 5.7. Пусть F — свободная группа с базисом X. Предположим, что X1 и X2 — рекурсивные подмножества в X, а F1 и F2 — порожденные ими подгруппы группы F. Пусть г — произвольный элемент из F и N — его нормальное замыкание в F. Тогда F1NF2 — рекурсивное подмножество в F. ?
Предыдущая << 1 .. 60 61 62 63 64 65 < 66 > 67 68 69 70 71 72 .. 202 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed