Комбинаторная теория групп - Линдон Р.
Скачать (прямая ссылка):
Предложение 5.16. Пусть q — произвольный элемент свободной группы F и р — ее примитивный элемент. Если пересечение их нормальных замыканий не содержится в [F, F], то q сопряжен с р или с р'1. ?
Кручение в группах с одним определяющим соотношением изучалось Каррасом, Магнусом и Солитэром [I960] с использованием метода Магнуса. Каждый нетривиальный элемент г свободной группы F может быть записан в виде r=sm для некоторого максимального /и; элемент s единствен и называется корнем из г. Если т—1, то говорят, что г не является собственной степенью. Они доказали следующее
Предложение 5.17. Если G=(X; г), где гфі, и r=sm, причем т максимально, то образ s элемента s в G имеет порядок т и каждый периодический элемент группы G сопряжен с некоторой степенью элемента s. ?
164
Гл. II. Порождающие и соотношения
Предложение 5.18. Если G= (X; г) и г не является собственной степенью, то G — группа без кручения. ?
Грюнберг [1970] дал когомологическое доказательство этого результата.
Предложение 5.19. Если G= (X; г), где r=sm и т максимально, а и не является степенью элемента s, то циклические подгруппы группы G, порожденные образами элементов s и u~lsu, имеют тривиальное пересечение. ?
Магнус, Каррас и Солитэр замечают, что предложение 5.18 следует из результата Линдона [1950] (см. также ШЛО). Заметим, что предложения 5.17 и 5.19 аналогичны классическим результатам о фуксовых группах (см. ниже III.7). Они доказывают следующий результат, вытекающий также из 5.18 и одного результата Шют-ценберже [1959] (см. 1.6).
Предложение 5.20. Если Q= (X; г), где г=[ы, v] для некоторых и и V, то G — группа без кручения. ?
Фишер, Каррас и Солитэр [1972] получили еще один результат о группах с одним определяющим соотношением, также аналогичный результатам о фуксовых группах (см. III.7.11).
Предложение 5.21. Если G= (X; г), то G —обладает нормальной подгруппой конечного индекса, не имеющей кручения. ?
Они показывают также, что если G= (X; г), r=sm и т максимально, то подгруппа группы G, порожденная всеми периодическими элементами, является свободным произведением всех подгрупп, сопряженных с циклической подгруппой, порожденной образом элемента s.
Центр группы G= (X; г) с одним определяющим соотношением был изучен Мурасуги [1964], доказавшим следующее
Предложение 5.22. Пусть G= (X; г). Если |Х|>3, то центр группы G тривиален. Если |Х|=2 и G неабелева, то центр группы G — либо бесконечная циклическая группа, либо тривиальная группа. ?
Баумслаг и Тейлор [1968] доказывают
Предложение 5.23. Существует алгоритм для определения центра группы с одним определяющим соотношением. ?
Мы дадим доказательство одного результата, который подразумевается в доказательствах приведенных выше теорем.
Предложение 5.24. Если G= (X; г) — абелева группа, то |Х|^2. Если |Х|=2, то F имеет базис а. Ъ, такой, что либо r=b. либо
5. Группы с одним определяющим соотношением
г=[а, Ь]. Таким образом, G — либо циклическая группа, либо свободная абелева группа ранга 2.
? По предложению 5.22 имеем |Х|^2. Поэтому можно предполагать, что IXj =2. Произведя, если нужно, замену базиса, можно считать, что X={а, Ь) и что сумма показателей при а в г равна нулю. Поэтому г лежит в В, нормальном замыкании элемента o в F1 и базисом подгруппы В служат элементы bk=a-kbak. Нормальное замыкание элемента г в F равно тогда нормальному замыканию в В элементов rh, где г0 — это элемент г, записанный через порождающие b?, a rh получается из г0 увеличением индексов при bh на п. Можно предполагать, что все rh циклически приведены как слова в алфавите {6Л}.
Поскольку мы предположили, что группа Q абелева, то P=O0-1O1= =[Ь, а] лежит в N и, значит, по предложению 5.2 является следствием тех rh, которые содержат только Ь0 и O1. Ясно, что г0=гф1 содержит некоторый bi, поэтому там есть некоторый наименьший bt и наибольший b}, y^i. Поскольку рф\ является следствием только тех rh, которые содержат лишь о0 и Ь±, не может случиться так, что />/+1. Если /=1+1, то имеется единственное rh, содержащее только O0 и bi, причем р является следствием этого rh. Поскольку р примитивен в В, по предложению 5.16 отсюда следует, что rh сопряжен либо с р=[а, b), либо с р-1, т. е. г сопряжен в F с р или р-1. Остается рассмотреть случай j=i. В этом случае rh=bf для некоторых k и т и г сопряжен с Ьт. Однако тогда из абелевости группы G получаем т=±1, т. е. r^b*1. Поэтому группа G оказывается бесконечной циклической. ?
Пусть F — свободная группа с базисом Xt, ..., Xn и w=w(x±, ..., Xn) — некоторый элемент этой группы. Говорят, что группа G удовлетворяет тождеству, или тождественному соотношению, w=l, если w(gi, ..., gn) = l для всех gi, ..., gn из G, или, более точно, если w лежит в ядре произвольного гомоморфизма из F в G. Случай, когда W=I (как элемент группы F)1— это случай тривиального тождества, выполняющегося во всякой группе. Общая теория тождеств в группах составляет предмет теории многообразий групп, обширно представленной в книге X. Нейман [1969]. Мы упоминаем об этих идеях здесь лишь в связи со следующей теоремой Д. И. Молдаванского [1969].
