Комбинаторная теория групп - Линдон Р.
Скачать (прямая ссылка):
С каждым представлением G = (X; R), где все г из R циклически приведены, мы свяжем специальный комплекс К (X; R) с единственной вершиной. Во-первых, К содержит единственную вершину V, а также ребра х (из v в v) для каждого элемента х из X вместе с обратными х~1. Таким образом, каждый путь в К есть петля. Во-вторых, если r = x[l.. .хепп?R, где X1 ?X, et= ±1, то вводим грань D с контуром x[l.. .хепп (начало в v) и грань D-1.
Предложение 2.3. Если G=(X; R), a K=K(X; R) —комплекс, связанный с этим представлением описанным выше способом, то п(К, v)=G.
? Пусть ф — отображение из свободной группы F с базисом X в я (К1), переводящее каждый элемент х из X в класс эквивалент-
3. Накрывающие отображения
16?
ности петли х. Поскольку {v} есть максимальное дерево в К1, изложенные выше соображения показывают, что ф в действительности — изоморфизм группы F на я(/(1). Пусть я — естественное отображение из я (К1) на я (К)- Очевидно, что Ry содержится в ядре гомоморфизма и. С другой стороны, из определений видно, что если две петли р и р' находятся в отношении р~р', то их классы эквивалентности из я (К1) равны по модулю R<p. ?
Если представление G=(X; R) конечно, то комплекс K(X; R) конечен. Если G=(X; R) есть представление с помощью таблицы умножения, в котором каждый элемент из R имеет длину 3, то каждая грань в К (X; R) является треугольником, а комплекс К — симплициальным комплексом. Каждое представление G=(X; R) может быть превращено в такое, что все соотношения имеют длину 3, по существу триангуляцией всех граней. Новое представление будет конечным, если таковым являлось первоначальное.
Комплексы K(X; R) родственны комплексам К (я, п) Эйлен-берга и Маклейна (см. Маклейн [1966]). Как мы увидим ниже, они весьма близки к комплексам Кэли.
3. Накрывающие отображения
Следующее далее изложение более или менее прямо заимствовано из книги Цишанга, Фогта и Колдьюи [1970]. Общая и изящная, но очень абстрактная трактовка этих вопросов может быть найдена у Хиггинса [1971].
Понятно, что отображение из одного двумерного комплекса С в другой двумерный комплекс С должно сохранять размерность и отношение инцидентности. Мы будем иметь дело лишь с неразвет* еденными накрытиями: в дальнейшем от накрытия f требуется, чтобы оно было отображением «на», причем на любом множестве ребер и граней, инцидентных с каждой фиксированной вершиной, оно должно быть взаимно однозначным.
Предложение 3.1. Если f: С —* С — накрытие, а и'—вершина комплекса С, то f индуцирует мономорфизм f* из n(C',v') в я (С, v'f).
? Если р' является петлей с началом в и' комплекса С", то, очевидно, ее образ p = p'f в С есть петля с началом в вершине V = v'f комплекса С. Пусть р[ и р'2 — элементарно эквивалентные петли комплекса С с началом v', т. е. p\=u'q'$', a p'% = u'q'2v', где Кц'г~хесть контур грани D' в С. Тогда образ qxqix есть контур грани D в С, и образы P1 = Uq1V и рг = uq2v петель р[ и р'2 эквивалентны в С. Поэтому / индуцирует гомоморфизм /* из я (С", Vі) в я (С, v). Но накрывающее отображение взаимно однозначно на множестве ребер, инцидентных с фиксированной вершиной. Отсюда с по-
168
Гл. III. Геометрические методы
мощью индукции по длине приведенного пути р выводится, что если р начинается в вершине v и v'f = v, то существует единственный приведенный путь р' в С, который начинается в v' и для которого выполняется равенство p'f = p. Допустим, что р' есть петля в С и что p'f ограничивает клетку DbC Поскольку f есть отображение «на», существует грань D', такая, что D'f = D. Тогда / отображает границу клетки D' на p'f, и по свойству единственности, отмеченному выше, отсюда следует, что петля р' должна ограничивать D'. Это означает, что/* является на самом деле мономорфизмом. ?
Следующее предложение, устраняя одномерный случай, существенно подготавливает предложение 3.4.
Предложение 3.2. Пусть С —связный одномерный комплекс, V—вершина в С, a H — некоторая подгруппа в я (С, v). Тогда существует связный одномерный комплекс С и накрывающее отображение /: С —*- С, переводящее некоторую вершину v' из С в v и индуцирующее изоморфизм f* группы я (С, и') на подгруппу H группы я (С, и).
? Пусть T—максимальное дерево в С. Тогда для каждой вершины X в С существует единственный путь VX ИЗ V в х. Если е — некоторое ребро комплекса С из вершины х в вершину гдто е обозначает элемент из я (С, v), определенный петлей vx-e-vy~x с началом в v. Пусть W— множество смежных классов Hg группы я (С, v) по подгруппе Н. В качестве множества вершин комплекса С возьмем множество V = VxW, где V—это множество вершин комплекса С. В качестве множества ребер комплекса С возьмем множество E' = ExW, где E есть множество ребер комплекса С. Если е' = {е, Hg)'— ребро в С, где е идет из вершины х в вершину у комплекса С, то условимся, что е' идет от вершины х' = {х, Hg) к вершине у' = (у, Hge) комплекса С. Легко проверить, что С" является комплексом. Проекции из V на V и из E' на Е, очевидно, определяют накрывающее отображение /: С—>-С.
Зафиксируем в комплексе С точку v' = (v, Н). Ясно, что v'f = v. Теперь мы покажем, что образ группы n(C',v') при отображении /* содержится в Н. Пусть р' = е[.. .е^ — путь в С, начинающийся в v''. Если е\ = (е1, Hg1), то p'f = р = е1.. .еп. Тот факт, что р' есть путь в С, означает, что Hg1+1 = Hg1C1 для каждого і, 1</<л. Поэтому р' оканчивается в у'= (у, He1.. .еп), где у — конец пути р. Если путь р' замкнут, то мы должны получить y = v и He1.. .е„ = H', а следовательно, ex...enQH. Это означает, что петля р в С представляет элемент ех.. .еп из Я. Мы показали, что если р' есть петля с началом в v', представляющая элемент g'
