Комбинаторная теория групп - Линдон Р.
Скачать (прямая ссылка):
Предложение 5.25. Пусть G — группа, определенная одним соотношением, и H — некоторая ее подгруппа, удовлетворяющая нетривиальному тождеству. Если G — группа без кручения, то H либо локально циклическая (т. е. такая, в которой каждая конечно порожденная подгруппа циклическая), либо метабелева вида H= ~(х, у; х~1ух=у"). Если G имеет кручение, то H либо циклическая, либо бесконечная диэдральная, H= (х, у; х2=у2=1). ?
156
Гл. Il. Порождающие и соотношения
Б. Ньюман [1968] доказал следующее
Предложение 5.26. Пусть G — группа с одним определяющим соотношением и H — ее абелева подгруппа. Тогда H — или локально циклическая группа, в которой каждый нетривиальный элемент является р-степенью лишь для конечного числа простых р, или свободная абелева группа ранга 2. Если G — группа с одним определяющим соотношением и с кручением, a H — разрешимая подгруппа в G, то H или циклическая, или бесконечная диэдральная. ?
Каррас и Солитэр [1971] доказали следующее предложение, см. также Чеботарь [1971].
Предложение 5.27. Пусть G — группа с одним определяющим соотношением. Тогда каждая ее подгруппа или содержит свободну группу ранга 2, или разрешима. Более того, если G — группа кручением, то каждая ее подгруппа или содержит свободную подгруппу ранга 2, или является циклической группой, или бесконечной диэдральной группой. ?
Следующая теорема принадлежит Б. Ньюману [1968]; доказательство, данное Маккулом и Шуппом, будет приведено позж" (1V.5).
Предложение 5.28. Пусть G=(X; г), где r=s", п>\. Предпо ложим, что uuv — элементы свободной группы F с базисом X представляют один и тот же элемент группы G, причем некотор буква X из X встречается в и, но не входит в v. Тогда существуе подслово слова и, которое также является и подсловом в г или г~ и длина которого больше (п—l)|s|. ?
Следующий результат Вайнбаума [1972] доказывается геометрическими средствами.
Предложение 5.29. Пусть F — свободная группа с базисом X иг — циклически приведенный элемент этой группы. Тогда нормальное замыкание этого элемента в F не содержит никакого собственного подслова слова г. ?
Б. Ньюман [1968] доказал
Предложение 5.30. Если G — группа с одним определяющим соотношением и с кручением, то централизатор любого ее нетривиального элемента является циклической группой. ?
Баумслаг и Грюнберг [1967] поставили следующую проблему Верно ли, что каждая 2-порожденная подгруппа группы с одни определяющим соотношением обладает нетривиальной конечно факторгруппой?
5. Группы с одним определяющим соотношением
157
Ри и Мендельсон [1968] матричными методами доказывают следующее
Предложение 5.31. Пусть G= (a, b; sm), где т>\ us не сопряжен ни с какой степенью элемента а или элемента Ь. Тогда для всех достаточно больших п пара а и Ь" — базис некоторой свободной подгруппы группы G. ?
Мескин [1972] рассмотрел вопрос о финитной аппроксимируемости групп с одним определяющим соотношением.
Группа G называется SQ-универсальной, если каждая счетная группа изоморфна подгруппе некоторой факторгруппы группы G. (Это понятие подробнее изучается ниже в разд. V.10.) Сасердот и Шупп [1974] доказали следующее
Предложение 5.32. Каждая группа G, обладающая представлением по меньшей мере с тремя порождающими и с одним определяющим соотношением, является SQ-универсальной. ?
Результаты Миллера III (1969 г., не опубликовано) и Эншела и Стиба [1974] содержат решение проблемы сопряженности для групп вида G= (X, t; t~1pt=q), где р и q — слова над X, не содержащие порождающего t.
Упомянем здесь также некоторые результаты, относящиеся к перенесению свойств свободных групп на группы с малым сокращением (среди которых, конечно, немало важных групп с одним определяющим соотношением). Симур (диссертация, Иллинойский университет, 1974 г.) и Трюффо [1974] обобщили результат Лип-шуца [1972], показав, что 1/6-группа обладает лишь циклическими централизаторами нетривиальных элементов. Ими обобщен также и другой результат Липшуца [1972] и показано, что если g — элемент бесконечного порядка в 1/6-группе, то при тФ±п элементы gm и gn не сопряжены. (См. также Эншел [1973], Липшуц [1971].) Исключительный случай, относящийся к сопряженности элементов g и g~l в группах с малым сокращением, был полностью изучен Камерфордом [1974].
Шапиро и Зонн [1974] изучали свободные факторгруппы группы с одним определяющим соотношением.
Линдон [1950] вычислил когомологии групп с одним определяющим соотношением, обобщив тем самым результаты Эйленберга и Маклейна для циклических групп. Используя метод Магнуса, а также идеи Фокса и Райдемайстера, он показал, что если G= (X; г) и г не является собственной степенью, то существует свободная резольвента
О —>- M1 —>- ZG —>¦ Z —*- 0,
в которой Mi — свободный ZG-модуль ранга 1. Отсюда следует, что когомологическая размерность группы G не превышает 2,
158
Гл. II. Порождающие и соотношения
причем ввиду результата Столлингса [1968] эта размерность равна в точности 2, если только G не является свободной. В этом случае модуль соотношений N~=N/[N, N] является свободным циклическим ZG-модулем. Если г является собственной степенью, то существует резольвента, в которой все М,- — циклические модули; резольвента бесконечна, но имеет период 2. (См. Суон [1969].) В этом случае N не является свободным, но цикличен и определяется одним соотношением. (Мы вернемся к этим вещам в разд. ШЛО.) В своей статье Линдон привел некоторые соображения, относящиеся к резольвентам, связанным с представлениями свободных произведений с объединенной подгруппой; его идеи были впоследствии развиты Суоном [1969]; см. также Гильденхьюз [1974, 1975].
