Комбинаторная теория групп - Линдон Р.
Скачать (прямая ссылка):
Определим отношение I-эквивалентности между путями р и р' (пишем р~р'), которое имеет место тогда и только тогда, когда
можно перейти от р к р' с помощью нескольких последовательных шагов, каждый из которых состоит в вычеркивании или "вставке пути вида ее'1. Очевидно, это действительно отношение эквивалентности и даже конгруэнция на U(C), т. е. если р~р' и fl~o',
і і
а произведение pq определено, то определено и p'q', причем pq~p'q', а если р~р', TOp-1^p'-1. Таким образом, можно перехо-
1 її
дить к факторструктуре П1 (С) структуры П (С) по этому отношению эквивалентности. Поскольку рр_1~1а(Р), то IP(C) является
і
структурой с обратимыми элементами, т. е. группоидом (или кате-і горией с обратимыми морфизмами). J
Легко видеть (точно так же, как и при обращении с приведен-!
2. Комплексы
165
ными словами в свободных группах), что каждый путь !-эквивалентен единственному приведенному пути. В частности, нетривиальная приведенная петля из П (С) не отобразится в один из нейтральных элементов (идемпотентов) в IF(C).
Определим отношение 2-эквивалентности между путями р и р' (пишем р~р'), если можно перейти от одного к другому вычеркиваниями и вставками путей вида ее-1 или вида q, где q есть контур с началом в некоторой вершине какой-либо грани D. Очевидно, это отношение также является конгруэнцией на U(C), а фактор по ней — опять-таки группоид, фундаментальный группоид я (С) комплекса С. Ясно, что П1 (C)=Il1 (C1J=E(C1) — фундаментальный группоид одномерного остова С1 комплекса С, а я (С) есть естественный гомоморфный образ группоида л (С1).
Заметим, что для любой вершины v подмножество П(С, v) в U(C), состоящее из всех петель с началом в v, есть полугруппа, а ее образ я (С, v) в я (С) является группой, фундаментальной группой комплекса С в точке v. Хорошо известно, что в том интересном случае, когда комплекс С связен, все его фундаментальные группы в различных точках сопряжены, а значит, изоморфны, хотя обычно не при помощи каких-то единственных естественно заданных изоморфизмов. Последнее является одной из причин того, что фундаментальные группоиды удобнее в топологии. Отметим также, что теория группоидов может быть развита абстрактно и применена изящно и с большой пользой для решения задач комбинаторной теории групп; систематически это было осуществлено Хиггинсом [1971], и мы уверены, что его методы должны оказаться естественным инструментом для решения некоторых вопросов, с которыми мы встретимся ниже. Однако в интересах упрощения мы будем обращаться к группоидам очень редко. Заметим, что идеи, весьма близкие к теории группоидов Хиггинса, развиты Кроуэллом и Смитом [1974] J).
Приступим теперь к изучению некоторых комплексов, связанных с группами или их представлениями.
Предложение 2.1. Если С — одномерный комплекс, a v — его вершина, то группа я (С, v) свободна.
? Поскольку очевидно, что л (С, V) совпадает с я(Сс, v), где C0 есть связная компонента комплекса С, содержащая v, то мы можем предполагать дополнительно, что комплекс С связен. Дерево есть одномерный связный комплекс без нетривиальных циклов. По лемме Цорна в С содержится некоторое максимальное дерево Т. Тогда T содержит каждую вершину х вместе с единственным при-
J) Нам представляется, что оценка авторами возможностей теории фундаментальных группоидов завышена.—Прим. ред.
166
Гл. III. Геометрические методы
веденным путем Vx в T от V к х. Каждому ребру е, идущему, для определенности, из вершины X в вершину у, сопоставим петлю e = vx-e-vy~x. Пусть е— это класс эквивалентности петли е в G = =я(С, V), а X — множество, состоящее из всех еФ 1. Если p=et...еп — некоторая петля с началом в v, то, очевидно, р~ ех.. .е~п, поэтому X порождает группу G. Кроме того, так как (е-1) = (е)-1, то X'1 = X. Мы покажем, что G является свободной группой с сим-метризованным базисом X, т. е. что если w = ex.. .еп, п > 0, где
Є; Є X и 1, і = 1, ..., п — 1, то ш=/=1. Пусть р = ех... еп.
Нам нужно показать, что приведенная форма для р как слова от ребер еу нетривиальна. Но из определения петель е,- видно, что после сокращений путь р примет вид P = VX^e1.. .en-vynx, который является приведенным, так как ^e1+1=TM влечет за собой ЄіЄі+1 ^ 1. Из единственности приведенной формы в Jt (С) заключаем, что рп°1, а значит, шф\. ?
Предложение 2.2. Пусть С —конечный связный одномерный комплекс, а V — произвольная вершина. Пусть, далее, у0 — это число вершин в С, a Vj- число неориентированных ребер (т. е. неупорядоченных пар {е, е-1} взаимно обратных ребер). Тогда п (С, v) является свободной группой ранга Vi — Yo +1 •
? Используем обозначения предыдущего доказательства. Заметим, что, если е принадлежит Т, то е~ 1, в то время как в противном случае е является приведенным и нетривиальным. Поэтому X состоит из тех элементов е, которые находятся во взаимно однозначном соответствии с ребрами е, не принадлежащими дереву Т, откуда следует, что ранг группы я (С, v) равен ух — т, где т есть число неориентированных ребер в Т. Поскольку T — дерево с числом вершин Yo. то Yo = т+ 1 • Утверждение доказано. ?
