Комбинаторная теория групп - Линдон Р.
Скачать (прямая ссылка):
Заметим, что предложение 5.5 легко выводится из предложения 5.6; не сложнее и его вывод из более общих результатов о свободных произведениях с объединенной подгруппой.
Анализ границ применимости доказательства Магнуса предложения 5.4 дан Каннонито и Гаттердамом [1973].
Б. Ньюман [1968] решил проблему сопряженности для групп с одним определяющим соотношением и кручением, однако неизвестно, для любого ли представления с одним определяющим соотношением разрешима проблема сопряженности. Упомянутые выше контрпримеры Маккула — Петровски и Цишанга лишают нас возможности решать «в лоб» проблему изоморфизма между группами, заданными представлениями с одним определяющим соотношением. Неизвестно, существуют ли группы с двумя определяющими соотношениями и неразрешимой проблемой равенства слов.
Еще один результат, доказанный Магнусом [1931] с использованием того же самого основного метода,— это
Предложение 5.8. Если два элемента rt и г2 некоторой свободной группы F имеют одно и то же нормальное замыкание в F, то rt сопряжен либо с гг, либо с г21. ?
Один из вариантов магнусова доказательства этого результата будет дан в разд. 11.6.
Гриндлингером найдено обобщение предложения 5.8 на случай некоторых групп с малым сокращением [1961].
Магнус [1931] доказал тем же самым методом следующий результат, который можно получить также как следствие предложения 5.17.
152
Гл. II. Порождающие и соотношения
Предложение 5.9. Пусть гх и t2 — элементы свободной группы F, такие, что для некоторого положительного целого п элемент ті лежит в нормальном замыкании элемента г%. Тогда и t1 лежит в нормальном замыкании элемента r%. О
Уайтхед [1936] (см. также Магнус, Каррас, Солитэр [1974, стр. 177]) доказал следующее
Предложение 5.10. Если G=(X; г) —свободная группа, то либо г=1, либо г — элемент некоторого базиса группы F.
? Можно предполагать, что F имеет конечный ранг п^\ и что тф\. По предложению 1.2.10 rank G^n—1, в то время как факторизация по коммутанту дает rank G^n—1. Теперь можно применить теорему Грушко — Неймана IV. 1 или, для простоты, результат Федерера — Йонссона 1.2.11, чтобы сделать вывод о том, что F обладает базисом уи ..., уп, таким, что образы элементов уи ... ..., уп-х образуют базис для G. Поскольку г и уп имеют одно и то же нормальное замыкание в F, согласно результату Магнуса 5.8, элемент г сопряжен с уп или у~1 и, значит, является элементом некоторого базиса группы F. (Можно было бы также обратиться к теореме о свободе, чтобы получить, что из принадлежности элемента уп нормальному замыканию элемента г следует, что г сопряжен с Уп для некоторого k, причем из того, что G — группа без кручения, получаем /г=±1.) ?
Доказательство Уайтхеда было топологическим. Приведенное нами доказательство основано на данном в книге Магнуса, Кар-раса, Солитэра (стр. 295, упражнение 20) и слегка ином доказательстве Оста [1974].
Предложение 5.11. Группа G= (X; г) не может быть порождена п—1 элементом, если только г не является элементом некоторого базиса свободной группы F с базисом X. ?
Шеницер [1955] определил условия, при которых группа с одним определяющим соотношением разлагается в свободное произведение. Он заметил сначала, что если w — элемент свободной группы F, длина которого минимальна относительно действия группы Aut (F), и если а — преобразование Уайтхеда, отличное от перестановки букв, такое, что \wa\ = \w\, то а не может вводить в wa никакой порождающий, который не встречается в записи w. Используя результат Уайтхеда 1.4.20. он выводит следующее
Предложение 5.12. Если гх и гг — элементы свободной группы F минимальной длины относительно действия группы Aut (F) и эквивалентные относительно этого действия, то число порождающих, фактически встречающихся в гх, совпадает с числом порождающих, фактически встречающихся в г2. ?
5. Группы с одним определяющим соотношением
153
По теореме Грушко — Неймана (III.5), если G=(X; г) — собственное свободное произведение, G=Gi*G2, то, применяя автоморфизм группы F, можно считать, что базис X для F является объединением непересекающихся множеств X1 и X2, образы которых порождают Gi и G2 соответственно. Однако в этом случае циклически приведенное слово г должно содержать порождающие только из одного из множеств Xi и X2. Этот факт вместе с предложением 5.12 дает
Предложение 5.13. Пусть G=(Xu хп; г), где г — элемент минимальной длины относительно действия группы Aut (F), содержащий в точности порождающие X1, ..., хк для некоторого k, O^k^n. Тогда G=^G1SG2, где Gi= (хи ..., xh; г) — неразложимая в свободное произведение группа, a G2 — свободная группа с базисом
Xfi + l> • • ¦» Xn. IZ)
Важным следствием является
Предложение 5.14. Если G — группа поверхности, то она не может быть собственным свободным произведением. ?
Сформулируем далее один результат Магнуса [1931] и связанный с ним результат А. Стейнберга [1971]. Здесь примитивным элементом свободной группы называется элемент некоторого базиса этой группы.
Предложение 5.15. Если F — свободная группа и нормальное замыкание в F некоторого элемента q содержит примитивный элемент р, то q сопряжен с р или с р'1 и, таким образом, сам примитивен. ?
