Комбинаторная теория групп - Линдон Р.
Скачать (прямая ссылка):
Ряд понятий, доказательств и теорем в этой главе более или' менее прямо заимствован из книги Цишанга, Фогта и Колдьюи [1970], а также из статьи Цишанга [1966], а многие отличаются о их изложения несущественно. Цишанг, следуя Райдемайстеру предложил заменить, насколько это возможно, аналитические с ображения комбинаторно-геометрическими. Хор, Каррас, Соли тэр [1972, 1973] переходят к чисто комбинаторно-групповым аргу ментам вместо геометрических. Мы попытались соединить резул таты Хора, Карраса и Солитэра с подходом в духе Цишанга Однако мы отдали предпочтение систематическому использовани комплексов Кэли (соответствующих общей топологической точк зрения), возвращаясь к дуальным фуксовым комплексам (отвеча щих обычному аналитическому подходу), только если мы ощ щали их реальное преимущество.
Привлечение геометрических методов, как они здесь пон маются, а особенно соображений, связанных с накрывающи
2. Комплексы
пространствами, и их обобщений, получило широкое распространение. Среди недавних работ в этой области, кроме книги Цишанга, Фогта и Колдьюи, отметим статьи Чипмана [1973], Кроуэлла и Смита (препринт), Гриффитса [1967, 1967], Хиггинса [1964, 1971], Ордмана [1970, 1971], Ротмана [1973, 1973] и Треткоффа [1975]. Треткофф (препринт) изложил, в частности, теорию групп, действующих на деревьях, построенную Серром [1968/69] и Бассом, в терминах накрывающих пространств.
2. Комплексы
Начнем с чисто комбинаторных определений одномерного и двумерного комплексов, которые однако несколько шире обычных.
Термины граф и одномерный комплекс мы употребляем как синонимы. Определим одномерный комплекс С как совокупность двух множеств V и E и трех отображений a: f-vK, со: E-+V и T)1: Е-*-Е. Назовем элементы множества V вершинами (или точками), а элементы множества E — ребрами. Назовем также а (е) началом ребра е из Е, а со (е) — концом этого ребра и скажем, что е идет из а(е) в а>(е). Назовем, наконец, ребро Ці(е) обратным к е, или противоположно ориентированным ребром, и будем писать х\г(е)^е~х. Условия, налагаемые на эти отображения, состоят в том, что щ должно быть инволюцией без неподвижных элементов, а ребро е~х идет из со (е) в а (е).
По существу мы определили неориентированный граф, так как требуем, чтобы комплекс С содержал вместе с каждым ребром обратное к нему. Иногда мы употребляем термин неориентированное ребро, понимая под этим пару {е, е~х} взаимно обратных ребер. Когда же мы будем говорить о задании ориентации на неориентированном графе, то это можно мыслить как выбор одного ребра из каждой пары взаимно обратных ребер.
Путь в С — это конечная последовательность ребер, обозначаемая через р=ех ... еп, п^\, причем для l^.i<Cn ребро ei+i начинается там, где кончается et, т.е. а(еі+1)=(л(Єі). Число \р\=п называется длиной пути р. Путь начинается в точке a (P)=^a(C1) и кончается в точке со (р) = со (еп); если эти две точки совпадают, P называется петлей. Удобно не вводить в рассмотрения единственный пустой путь, а лучше для каждой вершины v определить путь \v без ребер, начинающийся и кончающийся в v, при этом I0 есть петля длины 0. (Формально мы могли бы положить \v=v, определяя а(у) = со(v)=v и |и|=0.) Обратным к р является путь P-1=^1 ...еГ1.
Если р=Єі ... еп есть петля, то и любая циклическая перестановка p'=pi ... рпрі ... р,-_! пути р также является петлей; назовем множество всех циклических перестановок петли р циклическим путем или циклом. Путь приведен, если он не содержит пути
б»
164
Гл. III. Геометрические методы
вида ее'1; петля или соответствующий цикл является циклически приведенной, если она приведена и е^Феа1. Путь прост, если для ІФ\ имеем а(еі)Ф<х(еі) и (а(еі)ф(а(е1).
Двумерный комплекс С состоит из одномерного комплекса С1 (своего одномерного остова), множества F двумерных клеток, или граней, и двух отображений д и г|2, определенных на F. Каждой клетке DmF отображение д ставит в соответствие циклически приведенный цикл dD в С1, границу клетки D, а отображение Tj2 ставит в соответствие грани D другую грань, T]2(D)=D-1, обратную к D; потребуем, чтобы цикл 0"(D-1) был обратным к d(D) в естественном смысле. Вершина v лежит на грани D, если она является началом некоторого ребра в dD; при этом контуром клетки D, или ее граничным путем с началом в точке v, является любая петля в цикле dD, которая начинается в точке с Наиболее интересен случай, когда цикл dD прост, откуда будет следовать единственность контура для каждой вершины клетки D.
Заметим, что при нашем определении каждый одномерный комплекс будет и двумерным комплексом с пустым множеством граней.
Понятна геометрическая сущность этих определений, и мы без колебаний будем аппелировать к геометрической интуиции.
Путь в двумерном комплексе С — это путь в его одномерном остове. Множество U(C) всех путей комплекса С имеет некоторую алгебраическую структуру. Определим произведение pq двух путей р и q при условии, что со (р)=ос (q), как продолжение р с помощью q. Это умножение ассоциативно: если определено одно из произведений p(qr) или (pq)r, то также определено и другое и они совпадают. Имеем 1а(р)-р=р и рЛшр)=р, и, если определено произведение pq, то (pq)~1=q-1p~1. (Можно было описать U(C) как категорию или частичную полугруппу с инволютивным антиизоморфизмом.)
