Комбинаторная теория групп - Линдон Р.
Скачать (прямая ссылка):
По предложению 3.2, если H является подгруппой в G1 то существует накрывающее отображение / некоторого связного комплекса С на С, которое индуцирует изоморфизм /* группы H = = л (С, V) на Н, причем vf = v. Компоненты Kj подкомплексов С,-/-1' не пересекаются, и С есть объединение этих компонент Kj с одномерным комплексом L = Ue,-/-1, у которого только вершины могут быть общими с Kj. Пусть в каждой компоненте Kj выбраны максимальные деревья Tj. Включим их в максимальное в С дерево Т. Предположим, что V — такая вершина из С, что vf = v. Как и выше, F = л (С1, v)—свободная группа с базисом X, состоящим из элементов X = е, отвечающих парам ребер [е, е-1} комплекса С, не принадлежащих дереву Т. Следовательно, базис X может быть разбит на множества Xj и X1 в зависимости от принадлежности ребра_е множествам Kj или L.
Отметим, что H = F/N, где N есть нормальное замыкание множества элементов г, определяемых петлями р = sqs~% с началом в и из С, где о —граница для некоторой грани D комплекса С. Заменяя элемент г сопряженным, можем считать, что s принадлежит дереву T и, значит, г есть слово, записанное на буквах X = е для ребер е, принадлежащих границе q клетки D. Поскольку грань D должна лежать на некоторой компоненте Kj, все эти х принадлежат X,.. Следовательно, N есть нормальное замыкание
объединения множеств Rj1 зависящих от X1. Так что H есть свободное произведение групп Hj = (Xj] Rj) и свободной группы HL = (XL; 0).
Остается рассмотреть группы H1. Пусть /(,- — компонента С,-/-1', a S —путь в T из v в вершину w, такую, что wf = v. Тогда s/ есть петля с началом v в С, представляющая некоторый элемент h из G. Но каждый элемент х = е в X1 представим петлей p = sqs~l с началом v из С, где о есть петля с началом w в Kj. Поэтому о/ —это петля с началом v в Ct, представляющая некоторый элемент g из G1, a pf представляет элемент hgh~l группы hGjh-*, Отсюда следует, что /* отображает Hj изоморфно на под-
172
Гл. 111. Геометрические методы
группу группы JiG1Ii'1. Значит, подгруппа H, изоморфная группе Н, есть свободное произведение таких подгрупп Hjf* из hGih~l и свободной группы HJ*. ?
Следующая теорема Грушко — Неймана была независимо доказана Грушко [1940] и Нейманом [1943], а в случае бесконечного числа порождающих — Вагнером [1957]. Несколько более общее утверждение доказано Хиггинсом [1966] с помощью группоидов, а при еще более общих предположениях — Линдоном [1963]; см. также статьи Линдона [1965] и Коэна [1972] Приведенное ниже доказательство — это, в сущности, переработанное Масси доказательство Столлингса [1965]; см. Масси и Столлингс [1977].
Предложение 3.7. Пусть F — конечно порожденная свободная группа и а — гомоморфизм из F на свободное произведение A = * A^ групп Ах, XQA. Тогда F есть свободное произведение групп F^, F=^rF},, так что F^a=Ai для каждого XQA.
? Пусть X — базис для F, a H — комплекс без двумерных клеток с единственной вершиной V и ребрами е, находящимися во взаимно однозначном соответствии с элементами х из X. Если ха = =аі ... Cf — нормальная форма в A = ? Ai, то разобьем соответствующее ребро: е=ег ... et. Пусть K0 — полученный комплекс, который мы рассматриваем как двумерный комплекс без двумерных клеток. Определим морфизм ф из реберного группоида комплекса К° в А, полагая для упомянутых хне е,ф= at.
Мы займемся рассмотрением конечных двумерных комплексов К с отмеченной вершиной V, оснащенных морфизмом ф из реберного группоида в А. Для каждого X определим подкомплекс К\ в К (не обязательно связный), состоящий из всех ребер е, удовлетворяющих условию ecpQAi, и всех двумерных клеток, ограниченных петлями, все ребра которых лежат в Ki- Рассмотрим следующие свойства:
(1) существует изоморфизм 8: n(K,v)^F, такой, что если р есть петля с началом в к, а [р] — ее гомотопический класс, то [р]6а=рф;
(2) л есть дизъюнктное объединение деревьев. Очевидно, что К° обладает этими свойствами.
Покажем, что, если данный комплекс К обладает свойствами (1), (2), а пересечение г\К\ несвязно, то можно изменить К, чтобы получить новый комплекс К' с теми же свойствами и такой, что пересечение г\К\ имеет на одну компоненту меньше, чем г\К%. Для этого дадим одно определение и сформулируем лемму. Связка определяется как путь р, соединяющий точки в различных компонентах пересечения г\К\, такой, что ps/C^ для некоторого X и рф=1.
Лемма 3.8. Если с\Кк несвязно, то существует связка.
мне
3. Накрывающие отображения 173
Мы отложим доказательство леммы.
Допустим, комплекс К таков, что р| Kx несвязно. По лемме существует связка р. Образуем К', добавляя к К ребро е с теми же конечными точками, что и у связки р, и клетку с границей ре'1. Доопределим ф посредством формулы еф=1. Проверка показывает, что К' удовлетворяет условиям (1) и (2) и что п К'\ имеет на одну компоненту меньше, чем pi Kx-
После повторения этой конструкции появится комплекс К, удовлетворяющий (1) и (2) и такой, что с\Кх есть дерево. Из построения К можно усмотреть, что различные K^ и Kv не имеют общих двумерных клеток, а их общие ребра —только те, которые принадлежат пересечению n Kx, так что K11П Kv = п Kx- Из теоремы Зайферта —ван Кампена III.3.5 следует тогда, что п(К, v) = Xn(Kx, v)- Из (1) вытекает, что если Fx = n(Kx> v), то F = XFx, и FxOL^ Ax- Поскольку а отображает F на А, то Fx<z = Ax- ?
