Комбинаторная теория групп - Линдон Р.
Скачать (прямая ссылка):
78
Гл. I. Свободные группы и их подгруппы
? Очевидные рассуждения сводят проблему к решению единственного уравнения \m=g. Рассмотрим циклическую группу С с порождающим к порядка тп, если g — элемент конечного порядка п, и бесконечного порядка, если g — элемент бесконечного порядка. Тогда подгруппы A=Gv (хт) в С и ,4'=Gp(g) в G изоморфны. По теореме Шрайера [1927] группы ChG изоморфно вкладываются в свободное произведение H группы С на группу G с подгруппами А и А', объединенными посредством изоморфизма, переводящего хт в g; более того, в этой группе xm=g. ?
Второй важный результат в этой области — теорема Хигмана, Неймана и Нейман [1949].
Предложение 6.2. Пусть G — произвольная группа, I—заданное множество индексов, gt и g\, і ? I,— некоторые элементы из G. Тогда группу G можно вложить в группу Н, содержащую элемент х, такой, что x~1gix=gc для каждого і ? /, в том и только том случае, когда существуют изоморфизмы из Gp {gt} в Gp {g'i}, переводящие gt в gl ?
Необходимость условий очевидна; она показывает, что уравнения над группами не всегда разрешимы. Доказательство достаточности в классическом своем варианте требует применения свободных произведений с объединенной подгруппой и является прототипом обширной и важной области теории групп — теории HNN-pac-ширений, о которой речь пойдет ниже (IV.2). До этого же момента мы откладываем доказательство предложения 6.2, а также и других результатов в этом направлении, зависящих, как правило, от специальной, но весьма фундаментальной техники, которая будет изложена позже.
Весьма общий результат Герстенхабера и Ротхауза [1962], полученный топологическими средствами, показывает, что если группа G может быть вложена в компактную связную группу Ли, то система Ші = 1,... , Wn = I из п уравнений над Gen неизвестными Ii, ... ,\п имеет решение, если определитель из сумм показателей ец неизвестного \j в Wt отличен от нуля. Применение этого результата дает частичное решение проблемы, приписываемой Керверу в книге Магнуса, Карраса и Солитэра (стр. 414) и Лауденбаху Серром [1974]. Пусть G=(X; R) и G*=(X*; R*), где X* содержит один дополнительный порождающий, не лежащий в X, и R* содержит одно дополнительное соотношение; проблема состоит в следующем: верно ли, что из G=^l следует G*== 1 ? Соображение о том, что данная проблема для случая конечной группы могла бы быть решена описанным выше методом, стало нам известно (не непосредственно) от А. Кассона (не опубликовано); детальное доказательство, приводимое ниже, принадлежит П. Нейману.
6. Уравнения над группами
79
Предложение 6.3. Пусть G — конечная группа, X — бесконечная циклическая группа и N — нормальное замыкание одного элемента в свободном произведении G*X. Если йфі, то и (G*X)/N=?\.
? Предположим, что х —порождающий группы Л" и УУ —нормальное замыкание элемента w = gxxe* ... gnxe", где каждое из gi лежит в G, а е,- в Z. Если сумма показателей е = ех~\- ... -\-еа не равна ±1, то образ элемента х в G* = (G * X)IN, очевидно, нетривиален. Предположим поэтому, что е = 1.
Вложим G в унитарную группу U. Поскольку U связна, мы можем для каждого / = 1, ..., и определить путь у,-: [0, 1]—> U, такой, что У/(0)=1 и Y1-(I) = ?/. Определим теперь отображение у: Ux [0, 1] —* U, полагая у (A, t) = Y1 (t)he< ... Yn {t)he» для всех h?U, 16 [0, 1]. Поскольку е=1, у(-, 0) является тождественным отображением на U, а из топологических соображений следует, что у(-, 1) отображает U на всю группу U. Поэтому в U существует элемент А, такой, что y(h, l) = gtAei ... gnhe"= 1. Следовательно, существует отображение ср из G* в U, тождественное на G и переводящее х в А. Поскольку G*cp содержит G, то из G Ф 1 следует, что G* =/= 1. ?
Возвратимся к проблеме решения уравнений в группах. Эта проблема независимо возникла также и в математической логике, точнее, в теории моделей. Элементарным языком теории групп является язык первой ступени, в котором единственным нелогическим символом является символ бинарной функции, интерпретируемый как групповое умножение; этот элементарный язык, в частности, не позволяет говорить прямо о таких теоретико-множественных понятиях, как порядок элемента, подгруппа или цепь подгрупп. Элементарной теорией класса групп называется множество предложений из элементарного языка, истинных во всех группах данного класса. В такой постановке возникают две естественные и до сих пор не решенные проблемы. Первая: различны ли элементарные теории двух свободных групп различных рангов? И вторая: разрешима ли теория класса всех свободных групп?
Отклоняясь несколько в сторону, обсудим кратко первый вопрос. Нетрудно заметить, что среди всех свободных групп лишь группы ранга 0 (т. е. тривиальные) выделяются предложением (Vx)(xx=x) и только группы ранга не выше 1 выделяются предложением (Vx)(Vy)(x«/=ух). Однако неизвестны, например, элементарные предложения, выделяющие свободные группы ранга 2 и свободные группы ранга 3. Для сравнения мы поместим предложение, которое, как замечено Тарским (не опубликовано), выделяет среди свободных абелевых групп в точности группы ранга 2; оно выглядит так:
