Комбинаторная теория групп - Линдон Р.
Скачать (прямая ссылка):
Лемма 6.5. Пусть q— некоторое натуральное число >\ и A = = (aiy) есть (пХт)-матрица с элементами из поля К, содержащего
элемент со, такой, что со*?=—1. Допустим, что для вСеХ I1.....In,
где 1^г'п^я,
m
S«'./ • • • «U = °-
/=1 1
Тогда rank(Л)<т/2.
82
Гл. I. Свободные группы и их подгруппы
? Можно рассмотреть векторное пространство V над полем К
с базисом elf ет. Если для любого i, l^t'^o, а; = 2а//е/> то положим '
т
і і=\ і
Подмножество S из V назовем нуль-множеством, если P (*?, ... ... , aq)=0 для всех alt..., aq g S; поскольку Р, очевидно, полилинейно, подпространство Л', порожденное нуль-множеством 5, само является нуль-множеством. Нам нужно доказать, что если N — нуль-подпространство размерности п, то п^.т/2.
Проведем доказательство индукцией по т, причем случай т=1 тривиален. Предположим, что т^2, п>т/2, и постараемся получить противоречие; заметим, что по предположениям п^2. Пусть аи ... , ап, как и выше,— базис для N и А=(аи). Ясно, что элементарные преобразования строк или перестановка столбцов матрицы А не изменяют положения. Тогда можно добиться того, что
левый верхний угол матрицы А имеет вид^ а затем и вид
т. е. что А имеет вид
(J 7).
1 со a'i
0 1 a'z
0 0 А'
Предположим, что V есть (т—2)-мерное подпространство, порожденное элементами е3, ... , ет. Тогда а[, а'г и а3, ... , ап лежат в V. Покажем, что а[, а3, ... , ап образуют нуль-множество. Если Ьи ... , bq — элементы этого множества, не все равные а[, то первые две компоненты не дают вклада в P(bb ... , bq), так что его значение не изменяется, если вместо а'х подставить аи а оно по предположению "равно нулю. В оставшемся случае все bj равны а{, причем по предположению Р(аи... ,^)=0 и Р{аи... , а,) = = 1^+0)«+P(а'и ... , а[), что, согласно со'=—1, дает Р{а[, ... ... , Й1')=0.
Далее из предположения п>т/2 следует, что п—1>(т—2)/2, а это дает линейную зависимость п—1 элементов множества а[, оз, • • • . «п (предположение индукции). Поскольку множество а3, ... , ап предполагалось линейно независимым, а[ является линейной комбинацией этих элементов. Таким образом, продолжая преобразования строк, мы можем получить а[=0. Однако тогда Р(аи а2, ... , а2)=0+со- 1«_1 = со=7^0, что невозможно. ?
Рискнем предположить, что если г — наименьшее положительное число, такое, что К содержит элементы co1, ... , соЛ=5^0, для которых со?+.. . + со?=0, то для указанной матрицы А имеем rank (А)^т[г.
6. Уравнения над группами
83
Для применения этой леммы заметим, что если К — поле конечной характеристики р и o==7>(mod 2), то всегда можно взять to=—1.
Предложение 6.6. Пусть N>1 — некоторое целое число и U1, ... • ¦• . ит — элементы свободной группы, такие, что и?. . .Um = I. Тогда группа, порожденная элементами Ui,... , ит, имеет ранг «<т/2.
? Пусть X1.....хп — базис свободной группы F, порожденной
элементами U1, ит. Пусть F = FjF', где F'= [F, F]; тогда F — свободная абелева группа, базис которой составляют элементы xt — образы элементов X1-. Пусть F = F/Fp, где р — простое число; тогда в аддитивной записи F — векторное пространство над Zp, базисом которого являются х,- —образы элементов X1.
п _
Предположим, что и, = IIx°«'/(mod/"); тогда в F для образов
_ л _
выполняется равенство Uj = ^a11-Xi, где а,- — образы в Zp целых чисел atj из Z. Пусть Л = (а,-;). Если ранг (тхп)-матрицы А меньше п, то элементы Uj порождают собственное подпространство в F в противоречие с тем, что Uj порождают F. Таким образом, rank (А) = п, и остается доказать, что rank (A) ^ т/2.
Выберем простое число р, делящее N, и запишем N=qM, где q=pe для некоторого е~^\, причем р не делит М. Пусть R — ассоциативное кольцо многочленов над Zp от некоммутирующих переменных Xi, ... , Xn, a J — идеал в R, порожденный неизвестными Xj. Пусть R = RIJiP, a Xj — образы переменных Xj в R и J — образ идеала J. (Заметим мимоходом, что кольцо R конечно, причем его аддитивный базис над Z1, состоит из всех одночленов степени
<ЯР-)
Элементы 1+Xj кольца R имеют мультипликативные обратные
(i + x,.)-i=i-x,.+ ...+(-x,r-i
и, значит, порождают подгруппу G мультипликативной группы R этого кольца. (Следовательно, G-конечная р-группа экспоненты ре+1-)
Пусть р. — гомоморфизм из F на G1 определенный равенствами X^=I+X1-. Легко видеть, что если U1- = LT^'V(modF'), то .
xfti=l +aXi + Ci, С,-Є J\ uyp==l+2a,7X,- + C\, С,-(E/2,
84
Гл. I. Свободные группы и их подгруппы
Тогда
ufr=(і +2«//*/+cj)4 =1 + (2«//*/+cj)4 ^
shI + (2 «//*/)'(mod У»»)
Поэтому
(«f) рs 1 + M (Za0X1)* (mod /2?).
m / n \q
(и? ... u»)\i =3 1 +M 2 2 "ijX,] (mod /2?).
Поскольку Ui . . . Um = і И jO не делит M,
Коэффициент при Xi1... Xi в (2 а//*/)'7 равен a;,/... ay, поэтому в 2 (2 ai/Xt)9 он равен P (a,-,, ..., ay) = 2 • • • «у. Итак, все P(Oi1, a» ) равны 0, откуда по лемме 6.51
rank(Л)<т/2. ?
Из только что полученного результата следует, что если N > 1, то Ir (Xi ... х^Х /тг/2; полагая X2 = Xf1, X4 = X3-1 и т.д., легко видеть, что эта оценка является точной.
Приводимое ниже следствие является решением проблемы, поставленной при N=2 М. Ньюманом в статье Линдона и М. Нью-мана [1973]. Оно принадлежит Линдону, Макдоноу и М. Ньюману [1973].
