Комбинаторная теория групп - Линдон Р.
Скачать (прямая ссылка):
? Докажем сначала, что можно перейти к такому множеству S', которое отличается от описанного в лемме лишь тем, что q должно быть строго квадратичным над подмножеством X0 из X, не содержащим X1, . . ., Xn-1. Если то доказывать нечего. Рассуждая ПО ИНДУКЦИИ, ПреДПОЛОЖИМ, ЧТО k<Ln и ЧТО S1=X1, . . ., sh =
=xfc, причем S' связно и строго квадратично над некоторым подмножеством X0 множества X. Если k=n—1, то, согласно сделанным
Предположениям, Sn СОДерЖИТ Каждую ИЗ букв X1,. . ., Xk в точности
один раз, а все остальные буквы, которые вообще встречаются, встречаются дважды. Некоторая последовательность элементарных преобразований, связанная с S' и заменяющая X1 на некоторый сопряженный с элементом xf1 элемент, приводит Sn к виду x-j; повторение этого процесса приводит Sn к виду X1 . . . Xn-1^1 где q строго
92 Гл. I. Свободные группы и их подгруппы
квадратично над X0, как это и требуется. Если k<ji—1, то из связности множества S' следует, 4Toss+1 содержит некоторый jcft+1-, отличный от Xi, . . ., хк. Можно предполагать, что sk+1=xk+1u, где и не содержит xk+i. Далее, последовательность элементарных преобразований, связанная с 5', переводит sft+1 в хк+1, оставляя слова Si, . . ., sft без изменения. Более того, получающаяся система S" очевидным образом строго квадратична над некоторым подмножеством X0 множества X, конечна и связна. Предположение индукции теперь доказывает высказанное утверждение.
Остается доказать, что если w=pq, где q строго квадратично над множеством порождающих X0, не встречающихся в р, то некоторая последовательность элементарных преобразований, связанная с w, переводит w в элемент w'=pq', где q' имеет один из двух видов, описанных выше. Заметим сначала, что последовательность элементарных преобразований необходимого вида переводит рхг [у, z] г в рхгу2г2т. Поэтому при проведении индукции по длине слова q достаточно показать, что pq может быть переведено в слово одного из двух видов: px2q' или р [х, у] q'. Если q содержит некоторый х из X0 дважды в одной и той же степени, то можно предполагать, что q=uxvxz. Можно перевести xv в х, т. е. q в q' = ux2v~1z. Теперь отображение xi~> W1Xu переводит о' в o"=x2uu-1z. В оставшемся случае каждый хво встречается один раз как x+l и один раз как х-1. Если мы выберем пару Xі1 и Xті так близко друг к другу, как это возможно, то некоторый г/*1 между ними встретится, причем у*1 между ними нет. Переставляя х, х-1, у, у-1, если нужно, получим о=UXVyZx-1Iy1S. Преобразование, заменяющее vyz на у, переводит о в о'=UXyX-1^y1S'. Преобразование, заменяющее х-1/' на х-1, переводит о в fl"=w'xr/x_1z/_1s'. Наконец, сопряжение элементов X и у элементом и' дает о"' = [х, y]u's'. ?
Свяжем с произвольным множеством S циклических слов над свободной группой F с базисом X так называемый звездный граф 2 (S). (Этот граф называется коинициальным графом в работах Хора, Карраса и Солитэра. В неявном виде он рассматривается Ньювир-том [1968], в работе которого буква L есть не что иное, как число связных компонент в 2 (S); см. также Санатани [1967].) Множество вершин графа 2 есть множество L=XUX-1 букв. Для каждого вхождения подслова ухУу2 или у~\ух в слово из S вводится ненаправленное ребро, соединяющее вершины ух и у2. (Будем считать, что циклическое слово у длины 1 содержит вхождение подслова уу, так что с его помощью возникает ребро, соединяющее у-1 с у.) Заметим, что S(S) —это граф функции <ps(«/i, у2)=У\-Уг, введенной в связи с преобразованиями Уайтхеда (не считая того, что х и х-1 поменялись местами), в том смысле, что ух-уг есть в точности число ребер, соединяющих ух и у2 (или, точнее, ух1 и уї1).
Конечное множество S будет называться минимальным, если
7. Квадратичные множества слов
93
никакой автоморфизм группы F не уменьшает |S| = 2|s|, sgS. Заметим, что если S несвязно, то 2 (S) распадается на компоненты 2 (Si), где Sj— связные компоненты множества S; более того, из каждого х, не встречающегося в S, возникает пара изолированных точек X и х-1 в 2 (S). Даже если множество S связно и содержит все порождающие, множество 2 (S) не обязано быть связным. Однако можно доказать следующее
Предложение 7.7. Если S связно, минимально и содержит все х из X, то граф 2 (S) связен.
? Предположим, что граф 2 (S) не связен. Тогда множество L вершин может быть разбито на два непустых подмножества Л и Л' такие, что никакое ребро не соединяет вершину из Л с вершиной из Л', т.е. что Л-Л' = 0. Если Л=Л-1, то также и Л'=Л'-1, что позволяет разбить S на подмножество Si, содержащее порождающие, встречающиеся в Л, и подмножесто S2, содержащее порождающие, встречающиеся только в Л'; таким образом, S несвязно, что невозможно. Следовательно, некоторое а встречается в А, а а-1— в Л'. Если о — преобразование Уайтхеда о= (Л, а), то по предложению 4.16 \So\— \S\=A-A'—a-L=—a-L<0, откуда ISoKIS| в противоречие с минимальностью множества S. Остается сделать вывод, что граф 2 (S) связен. ?
Заметим, что если множество S квадратично, то в каждой вершине сходится не более двух ребер, а если S строго квадратично и содержит все порождающие, то в каждой вершине сходится в точности два ребра, так что, если вдобавок S конечно, 2 (S) является объединением циклов. Докажем теперь частичное обращение предложения 7.7.
