Комбинаторная теория групп - Линдон Р.
Скачать (прямая ссылка):
Следствие 6.7- Для каждого п^О и каждого N>1 в некоторой группе G существует произведение п экземпляров N-степеней, не представимое в виде произведения менее чем п экземпляров N-степеней.
? По предложению 6.6, если G свободная группа с базисом X1, ... ... , хп и Xi .. .Xn = Ui.. .Um, то после перенесения в правую часть получим n=rank(G)=sC(n+/n)/2, откуда следует, что п^т. Доказательство предложения 6.6 показывает, что на самом деле в этом следствии в качестве G можно взять конечную р-группу, где р — произвольный простой делитель числа N. ?
Мы упоминали, что любое строго квадратичное относительно переменных X1, ¦..,Xn слово подходящим автоморфизмом может
быть Приведено K ВИДУ W = X*... Xg (?< п) или W = [X1, X2] . . .
• • • [^-и xzg]' (2g^ я). Это будет доказано в предложениях 7.6 и 7.14. Мы сформулируем частичный аналог следствия 6.7.
6. Уравнения над группами
85
Предложение 6.8. Если F—свободная группа с базисом X1, x2g и элементы U1, и2т из F таковы, что
[X1, X2] . . . [X2^-1, X2^] = [W1, W2] . . . [W21n-], w2m],
то m^g.
О Доказательство аналогично доказательству предложения 6.6. ?
Продолжая в том же духе, заметим, что Линдон и М. Ньюман [1973] показали неразрешимость, вообще говоря, уравнения [х, у]= =и\и\ (в частности, когда х, у — различные свободные порождающие свободной группы); при этом [х, #1=(*-1?/-1)%*«/-1)?2. Приведем две теоремы, содержащие этот результат. В формулировке первой из них будем использовать для членов нижнего центрального ряда группы F обозначения F1=F, Fn+1 = [Fn, F].
Предложение 6.9. Если w — произведение двух квадратов в свободной группе F и w лежит в Fn для некоторого п, то образ этого элемента в FnJFn+1 является квадратом.
? Пусть W = U2V* и wQFn. Если п=\, то w = (uv)2(modF2). Предположим теперь, что n> 1, т. е. wQF2, (uv)2 = 1 (mod F2) и, так как FlF2-группа без кручения, uv = kQF2. Далее, v = u~xk и w = u2 («"1A)2 = [и, k]k2 = k2(modF3). Здесь, отклоняясь от принятого нами обозначения, мы записали uku~lk~Y =[и, k]. Индукцией по «^2 покажем, что если я^2, то из WQFn следует kQFn. Это было доказано при п = 2; поэтому будем предполагать справедливость этого утверждения при некотором п ^ 2. Если WQFn+1, то WQFn и по предположению индукции kQFn. Однако тогда [и, k]QFn+1, и из равенства w=[u, k]k2 следует, что k2 QFn+1. Поскольку FjFn+1-группа без кручения, k QFn+1. Шаг индукции сделан. Предположим теперь, что wQFnr п ^ 2. Мы уже показали, что тогда kQFn, откуда [и, k]QFn+1 и w => = [и, k] ?2 = A2(mod Fn+1). ?
Заметим, что из доказанного следует, что если хи ... ,Xn — элементы базиса группы F и Xi=^x2, то w=ll.. .[Ix1, х2], х3]...], xj не является произведением двух квадратов.
Основная идея в доказательстве следующей теоремы принадлежит Макдоноу (см. Линдон, Макдоноу и М. Ньюман [1973]).
Предложение 6.10. Пусть F — свободная группа с базисом
Xi, ... , X2n. Тогда существуют элементы U1.....ит в F, такие,
что
[X1, X2] ... [x2n-i, Х2п\ = U1 ... и2т в том и только том случае, когда т^2п-\-\.
? Покажем сначала, что данное уравнение имеет решение при т=2л+1, а значит, и при т^2п+1. Будем использовать уже упо-
86
Гл. I. Свободные группы и их подгруппы
мянутый факт, состоящий в том, что Ix1, х2]=и\и\у2. Мы будем использовать также и то, что для любых элементов а, Ь, с произвольной группы существуют элементы и, V, до, такие, что a2 ]b, c]=u2v2w2 (это легко доказать самостоятельно, однако см. гл. I книги Масси (Масси и Столлингс [1977]). По индукции предположим, что Ix1, X2] . . . [х2п_3, л:2п_2] = и2 . . . utn.2v2. Тогда можно записать
Для доказательства обратного предположим, что равенство имеет место. Пусть G=FIF3(F')2 (мы можем даже положить л:2=1 для каждого х, чтобы превратить G в конечную 2-группу). Образы элементов Xi и Ui в G мы будем обозначать теми же буквами. Пусть Сц=ІХі, Xj]. Тогда каждый элемент и из G единственным образом представим в виде
п
" = Пхр П с?/л где аі є z> du є z2.
I=I Ki
Тогда
Ki
Поскольку все X2 и все C1) лежат в центре группы G,
(=1 і Ai
Если aik — образ числа aik при каноническом отображении из Z на Z2, А = (а,7) — матрица над Z2 и а,- = (ап, ..., аіт) — і-я строка в А, то из соотношения и\ ... и2т = [X1, X2] ... [X2n-1, х2п] вытекает, что
1, если {І, /} = {2А —I, 2А} для 1 < h < п, О в противном случае.
Q1-Uj =
(о.сUj — скалярное произведение векторов). Понятно теперь, что А-АТТ = В, где ЛТг — матрица, полученная транспонированием
матрицы А, а В — прямая сумма п матриц вида Ij qI, т. е. матрица ранга 2п. Таким образом, гапк(Л)^2/г. В то же время
m
UiU1= 2а1/ = 0 Для каждого і влечет за собой равенство нулю
суммы m столбцов матрицы А, откуда rank (A) —1. Поэтому m— 1 >2п. ?
Ясно, что произвольная группа допускает гомоморфизм на тривиальную группу, откуда Ir(G)^O; иными словами, произвольная
6. Уравнения над группами
87
система уравнений без коэффициентов допускает тривиальное решение. Легко решить также для произвольной конечно порожденной группы G вопрос о справедливости для нее неравенства Ir (G)^l, т. е. вопрос о существовании эпиморфизма этой группы на бесконечную циклическую группу: это будет тогда и только тогда, когда в Gl[G, G] имеется элемент бесконечного порядка. Если W — система уравнений относительно конечного множества неизвестных Iu ...,?„ и an— сумма коэффициентов при переменной Ej в wj, это эквивалентно условию, что ранг матрицы (а.ц) меньшей. Обратно, если W — нетривиальное конечное множество уравнений относительно конечного множества неизвестных Ел, . . ., |п, то из 1.7 следует, что h(W)<in. Если ц — элемент некоторого базиса для Ф и все Wj содержатся в нормальном замыкании элемента т] в Ф, то, очевидно, проекция ф из Ф в Ф, получаемая при г\ >—>¦ 1, дает решение ранга п—1, так что Ir(W)^n—1. А. Стейнберг [1971] доказал следующее частичное обращение:
