Комбинаторная теория групп - Линдон Р.
Скачать (прямая ссылка):
Предложение 7.8. Пусть S конечно и строго квадратично, а граф 2 (S) связен. Тогда S связно, минимально и содержит все порождающие.
? Очевидно, что S связно и содержит все порождающие. Заметим, что, поскольку 2 является объединением непересекающихся циклов, невозможно разбиение множества вершин L на две части Л и Л', такие, что Л-Л' = 1. Предположим теперь, что множество S не минимально. Тогда по предложению 4.17 ISoKISI для некоторого преобразования Уайтхеда о= (А, а). По предложению 4.16 имеем ISoI-ISI =Л-A'—a-L<0, так что А-А'<д-Е=2. Поскольку Л X А'Ф\, отсюда следует, что Л -Л'=Ов противоречие с предположением о том, что 2 связен. Таким образом, S минимально. ?
Напомним, что если S конечно и строго квадратично, то ISoI^ ^|S| для элементарного нильсеновского преобразования о в точности в том случае, когда а связано с S. Символом k (S) мы будем
94
Гл. 1. Свободные группы и их подгруппы
обозначать число связных компонент графа S (S), за исключением изолированных точек.
Предложение 7.9. Если а — элементарное нильсеновское преобразование, связанное с конечным строго квадратичным множеством S, то либо ISoI = ISI и * (Sa)=* (S), либо |S<r| = |S|—2 и k(Sa)= =k(S)—\.
? Можно считать, что о определяется отображением х\—>ху, где S содержит подслово ху1; далее, S должно содержать подслово (xz)±l для некоторого z из L. Если z фу-1, то |So| = |S| и подслова xy~xt и (xz)±» множества S заменяются на подслова xt и (xyz)±x из S. Поэтому 2 (Sa) получается из 2 (S) заменой дуг z=x~x—у~х и у—/ дугами z—у~х и у—х~х—t. При этом, понятно, число k(S) остается неизменным. Если z=y~x, то ISaI = ISI—2 и подслова xy~xt и (xy~xS)±x из S заменяются полсловами xt и (xs)*1 из S. Таким образом, 2 (Sa) получается заменой цикла х~ху~х двумя вершинами х~х и у~х и дуги t—у—s из 2 (S) дугой t—х~х—s. Понятно, что это уменьшает k(S) на 1. ?
Для доказательства следующего результата нам понадобится одно предложение о неприведенных множествах S.
Предложение 7.10. Пусть S — конечное строго квадратичное множество неприведенных циклических слов. Предположим, что S' получается вычеркиванием подслова хх~х U3S. Тогда k (S')=k (S) —1, за исключением случая, когда хх~х— элемент из S.
? Если хх~х не есть элемент множества S, то подслово yxx~xz из S заменяется подсловом yz в S'. Тогда дуга у~х—х—z вместе с циклом с единственной вершиной х~х заменяется одной дугой у~х—z. Если хх~х принадлежит S, то при переходе теряются два цикла, каждый с единственной вершиной X или х~х. ?
Предложение 7.11. Пусть S строго квадратично и минимально, a S' получается из S, если положить х\—> 1 для некоторого х, встречающегося в S, и затем перейти к приведенному множеству. Тогда либо ISM = ISI-2 и IA(S')—A(S)Kl1 либо |S'| = |S|—4 и k(S') = =k(S).
? Пусть S1— (возможно, неприведенное) множество, получающееся из S при Xi—*-1. Если S1 оказалось приведенным, то S'=Sr и IS'I = = |S|—2. Если S или содержит два элемента х и х-1, или один элемент X2, то 2 (S) содержит цикл хх-1 и 2 (S') получается вычеркиванием этого цикла, так что k (S' \=k (S)—1. В противном случае, поскольку S1 приведено, S содержит подслова (uxv)±l и (wxz)±l (где совпадения букв и±х, . . ., z±l не исключаются), которые заменяются в S' на подслова (uv)±x и (wz)±l. Таким образом, дуги и~х—X—w~x и V—х~х—z в 2 (S) заменяются на дуги и~х—v и w~l—z
7. Квадратичные множества слов
95
в 2 (S'). Если две упомянутые дуги встречаются в одном и том же цикле и в одном и том же направлении в 2 (S), то этот цикл заменяется на другой цикл в 2 (S'), причем k (S) остается неизменным. Если эти дуги встречаются в одном и том же цикле, но в противоположных направлениях, то этот цикл заменяется в 2 (S') на два различных цикла, откуда k(S')=k (S)+l. Если эти дуги встречаются в разных циклах, то они заменяются на один цикл в 2 (S') и k(S')=k(S)—\.
Предположим теперь, что S1 не приведено. Можно заметить, что, поскольку S минимально, оно не содержит подслое (и~1х2и)±1, («"1U-1Xi»«)*1 или пары подслов (W1Xu)*1 и (V1Xv)*1. Поэтому в S должны быть подслова (UV-1XVw)*1 и (zxt)*1, переходящие в приведенные подслова (uw)*1 и (zt)*1 множества S'. Значит, дуги и-1—и-1—w и г*1—X—V—х-1—/ графа 2 (S) заменяются на дуги и'1—w и г-1—t в 2 (S'), так что k (S) остается без изменения. ?
Предложение 7.12. Пусть q и q'—минимальные строго квадратичные циклические слова, и предположим, что q' получается из q последовательностью преобразований, связанной с q, такой, что лишь одно преобразование сингулярно. Тогда \q'\ = \q\—2 либо \q' I = \q\—4.
? Поскольку условия предложения не меняются, если к q применяются регулярные преобразования, связанные с q, то можно считать, что данная последовательность начинается с сингулярного преобразования a : xi—>-1. Если </=х2, то q' = \, и все в порядке. Если k(qa)=kq=l, то qa минимально и, значит, \q'\ = \qa\; по предложению 7.11 |</'| = |</|—2 или |</'| = |</|—4. Остается рассмотреть случай k(qa)=?\; тогда по 7.11 k(qa)=2 и \qa\ = \q\—2. Согласно предложению 7.9, последовательность имеет вид а, ?b . . ., ?n, где ?« регулярны и для некоторого k имеем Iga?i . . . P4-J = !^ = !*/!—2, k(qa^! . . . t?k_1)=k(qa)=2, в то время как l^a?j . . . ?ft| = |</a|— 2=' = |<7І—4, &(a?! . . .$h)=k(qa)—1 = 1. По предложению 7.8 q"= =qa$l . . . ?h минимально и последовательность ?ft+i. . . P„ не изменяет ни а"', ни k(</"). Тогда \q'\ = \q"\ = \q\—4. ?
