Комбинаторная теория групп - Линдон Р.
Скачать (прямая ссылка):
(Л0) из хф 1 следует |х|<|х2|.
С добавлением аксиомы (АО) аксиома (А5) становится излишней. Следующие два результата вполне оправдывают аксиомы, посредством которых мы ввели функцию длины.
4*
100
Гл. 1. Свободные группы и их подгруппы
Предложение 9.1. Пусть G — произвольная группа, снабженная функцией длины, удовлетворяющей аксиомам АО, . . ., A4. Тогда она — свободная группа, более того, G может быть вложена в свободную группу F с базисом X, таким, что данная функция длины на G является ограничением на G функции длины на группе F относительно базиса X. ?
Предложение 9.2. Предположим, что группа G снабжена функцией длины, удовлетворяющей аксиомам Al, . . ., А5. Тогда ее можно вложить в свободное произведение F, такое, что данная функция длины на G является ограничением на эту подгруппу функции длины на группе F относительно данного разложения. ?
Первая теорема, конечно, обобщает теорему Нильсена о подгруппах; вторая, если ее сформулировать в полном объеме, содержит теоремы Куроша и Грушко — Неймана (см. III. 5).
Естественно возникает вопрос: каковы те группы, которые обладают функцией длины, принимающей значения в некоторой упорядоченной абелевой группе, отличной от Z? Случай групп, в которых функция длины удовлетворяет аксиомам АО, . . ., А5 и принимает значения в аддитивной группе действительных чисел R, был рассмотрен Харрисон [19721, но оказался очень сложным. Разумным является предположение, что такая группа будет подгруппой свободного произведения F реплик Ft аддитивной группы R действительных чисел, в которой функция длины определена следующим образом: если w=wx . . . wk, где последовательные W1— это нетривиальные элементы из различных Fj, го |ш|=2|ш;|, гДе длина \Wi\ в Fj соответствует обычной абсолютной величине в R. В этом направлении ею были доказаны следующие результаты:
Предложение 9.3. Каждая максимальная абелева подгруппа группы G изоморфна подгруппе группы R. ?
Предложение 9.4. Каждая подгруппа группы G, порожденная двумя элементами, либо свободна, либо абелева. ?
У Харрисон имеются также частные результаты, относящиеся к 3-порожденным подгруппам.
Абстрактные функции длины изучались в работе Нива [1970].
Чизуэлл [1976] показал, что если группа G снабжена целочисленной функцией длины, удовлетворяющей аксиомам Al, А2 и A4, причем d (х, у) — всегда целое число, то G действует на дереве T с вершиной Po таким образом, что для всех л: из G величина \х\ есть длина приведенного пути в T из P0 к хР0. Затем он показывает, что А5 выполняется в том и только том случае, когда стабилизатор каждого (направленного) ребра тривиален, а АО выполняется тогда и только тогда, когда стабилизатор каждой вершины тривиален и никакой элемент из G не обращает ребра. Из теории Серра и Басса
10. Представления свободных групп; исчисление Фокса
101
(Серр [1968/69]) следует, что если выполняется условие А5, то G является свободным произведением, а если выполняется условие АО, то G — свободная группа. Чизуэлл устанавливает также связь между такими функциями длины и биполярными структурами Столлин-гса (см. IV.6). Для действительных функций длины, удовлетворяющих Al, А2 и A4, аналогичная конструкция дает представление группы G как группы изометрий множества Т, на этот раз снабженного структурой линейно связного и стягиваемого метрического пространства.
10. Представления свободных групп; исчисление Фокса
Представлений в классическом смысле свободных групп более чем достаточно; например, линейные группы над действительными, комплексными и даже просто целыми числами изобилуют свободными подгруппами. Этими группами занимались достаточно много: см. III. 12, 13. Отметим здесь, что если ограничиться только счетными свободными группами, то по предложению 3.1 достаточно найти свободные линейные группы ранга 2, а для большинства случаев достаточно рассматривать такие группы как подгруппы двумерных линейных групп. (В то же время Бахмут и Мочизуки [1976] поднимают вопрос о нахождении свободных подгрупп ранга^З группы GL (2, С), не содержащихся в свободных подгруппах ранга 2.) Мы вернемся к этим вопросам позже (III. 12).
Здесь же мы обсудим два представления несколько иной природы; оба они найдены Магнусом [1935, 1939]. Первое — это представление некоммутативными степенными рядами.
Пусть P — свободное ассоциативное (некоммутативное) кольцо о единицей и с базисом |t, . . ., |„; его элементы — многочлены с целыми коэффициентами от некоммутирующих переменных |ь . . ., |п. Предположим, что П — ассоциированное с P кольцо степенных рядов; это кольцо можно рассматривать как пополнение кольца P относительно топологии, определенной степенями фундаментального идеала A=(I1, . . ., In); его элементы суть формальные суммы
n=2)tv, где ixv—однородные многочлены степени v. Идеал Д
V-I
является ядром отображения р из P на Z, определенного равенствами IiP=O для всех І, 1<г'</г.
Предложение 10.1. Пусть F — свободная группа с базисом Xi, . . ., хп и П — кольцо степенных рядов относительно переменных Ii, . .., In, определенное выше. Тогда отображение ц: х,і—>1 -f|t определяет изоморфизм из F в мультипликативную группу П* обратимых элементов кольца П.
