Комбинаторная теория групп - Линдон Р.
Скачать (прямая ссылка):
J04
Гл. I. Свободные группы и их подгруппы
ный элемент степени п из L" и bgQAn+1. Если мы запишем абе-левы группы GjGn+1 и L"/Ln+1 аддитивно, то для каждого п отображение %: gi—b-hg является аддитивным отображением из GjGn+1 на L"/L"+l; из всех этих отображений вместе складывается аддитивное отображение К из G = 2 GjGn+1 в L. Более того, для каждых тип можно определить спаривание из GjGn+1 и GjGn+1 в Gn+jGn+m+1, переводящее образы элементов UQGn и vQGm в образ элемента [u, v]QGn+n. Относительно возникающего при этом в G умножения получается лиево кольцо, а % осуществляет изоморфизм кольца Ли G на кольцо Ли L.
Сандлинг [1972] показывает, что Gn=Ln(G) для произвольной группы G и п-^о, причем если G есть р-группа, в которой (Gt)p=l, то Gn =Ln (G) для всех п. Отсюда следует, что если и есть контрпример к гипотезе Gn=Ln(G) для всех п и всех G, то он значительно сложнее группы Рипса.
Возвращаясь к размерным подгруппам, определенным ранее, заметим, что Цассенхауз [1940] доказал результаты, подобные результатам Магнуса, в которых ZG заменено на ZmG, где Zm=Z/mZ, m>0. В частности, он ввел понятие модулярной размерной подгруппы Dn (ре, G) для случая, когда т=ре. Цассенхауз охарактеризовал эти группы для е=1 и свободной группы G, а Лазар [1953] обобщил этот результат на случай произвольной группы G. Эта ситуация изучалась затем Дженнингсом [1941, 1955] и Лазаром [1953], занимавшимися связями между дискретными группами и различным образом ассоциированными с ними кольцами Ли. Обзор теории размерных подгрупп над произвольными кольцами коэффициентов дан Сандлингом [19721. Заметим также, что Пасси (см. [1968]) ввел идеалы в ZG1 ассоциированные с различными многочленами, обобщающие сразу определения как размерных, так и лиевых размерных подгрупп. .
Перед тем как перейти к еще одному представлению Магнуса, коротко напомним основные факты о производных Фокса (Фокс [1953, 19541; Кроуэлл и Фокс [1967]).
Пусть F — свободная группа с базисом X и ZF — групповое кольцо для F над кольцом целых чисел. Обозначим через е: ZF —* F пополняющее отображение, индуцированное тривиальным отображением е0: F—>I. В данном контексте мы определим производную как линейное отображение D: ZF—»•Zf1 удовлетворяющее условиям DI=Oh
(1) D(Uv) = Du-W + u-Dv.
Легко видеть, что D полностью определяется значениями Dx1 для всех х{ из X и что любой выбор значений Dx1- определяет некоторое дифференцирование. На самом деле для некоторых элемен*
//. Свободные произведения с объединенной подгруппой
105
tob du/dxt из ZF
причем производные Фокса ди/дх; вычисляются следующим образом: если и = yt ... уп б F, где и} 6 X U X'1, то ди/дх,- = 2 Уі ¦ ¦ • ... J/y_i {dyj/дхі), где ду/дх( = О, если y^xf1, <Зх,-/<Эх,-= 1 и dx^/dxf = — xf1.
Заметим, что отображение 1-е: «>—э-и —ие является дифференцированием, так что (1) дает
(2) „_UB = ?.g. (*,_,).
Между прочим, из того, что є и 1-е —взаимно ортогональные ретракции кольца ZF (проекции), следует, что ZF разлагается как Z-модуль в прямую сумму подгруппы Z и ядра A = ZF(I-є) отображения е. Более того, рассматриваемый как левый идеал, Д является свободным ZF модулем с базисом X1- 1, где X1-б X. Действительно, если предположить, что верно соотношение 2^(*,-—0 = 0, то, применяя каждый оператор d/dxit легко видеть, что V1 = 0. (Для дальнейших сведений об идеале А и связанных с ним идеалах см. Коэн [1972].)
Опишем, наконец, второе представление Магнуса (см. также разд. 1.4 выше). Пусть dZF — свободный левый ZF-модуль с базисом из элементов вида dxh соответствующих буквам X1 из X. Для любого и из ZF определим
из dZF. Тогда для w из F корректно определено умножение
матриц
fw dw\
w^\o 1 )'
и это дает точное представление р. группы F.
Более полно вопросы, поднятые в настоящем разделе, будут изучены позднее (см. 11.3).
11. Свободные произведения с объединенной подгруппой
Метод Нильсена можно обобщить на случай свободных произведений и свободных произведений с объединенной подгруппой. В разд. 1.9 мы отметили, что этот метод в аксиоматической форме в применении к свободным произведениям дает теоремы Куроша и
106
Гл. I. Свободные группы и их подгруппы
Грушко — Неймана. Обобщение метода Нильсена было предпринято Цишангом [19701, получившим результат, нашедший применение при изучении рангов фуксовых групп (см. Цишанг [1970] и Печинь-ски, Розенбергер и Цишанг [1970]). Подобными же методами можно получить аналог теоремы Куроша для свободных произведений с объединенной подгруппой. Это результат Карраса и Солитэра в несколько измененной форме. Пусть G — свободное произведение групп Hv< v € I, с объединенной подгруппой AnG* — подгруппа в G; тогда пересечения G* П Щ, v?/, g?G, порождают нормальную подгруппу N группы G*, являющуюся древесным произведением некоторых из этих пересечений, и G* — (расщепляемое) расширение нормальной подгруппы N при помощи свободной группы. Можно получить также частичный аналог теоремы Грушко — Неймана (см. Смит [1976]). Как отмечено ниже, многие из этих результатов обобщаются на случай HNN-расширений, древесных произведений и более общих произведений, связанных с графами.
