Комбинаторная теория групп - Линдон Р.
Скачать (прямая ссылка):
причем для каждого j, /^«,•,
\Bij I < II- \8ц ¦ ¦ • Bm1Ut+11 = I ui+i I, e то время как atQA. Пусть
w = U1O1 ... utat.
Предположим, что для каждого і, Ї ^t- 1,
(1) I и/1, l«/+"iKI«W*+i|;
(2) если Ap^Aqj, mo \ ui+1 | < | и,-а,-ы,-+11;
(3) если Aq1+1 < Api+1, то | u,-1< | UA1U1+11. Тогда верны следующие утверждения:
(4) если Apt<Aqt и \ht\ = 0, то w = zqtat для некоторого г;
(5) во всех случаях, кроме Apt < Aqx и \ ht \ = 0, имеем ut з* zxqt, w = Z1X1^q1U1 для некоторых z, Z1 и х, X1QH^-A для какого-то
V б/;
(6) если Aq1 < Apt и \ ht | = 1, то w == Zyhtqtat для некоторого Z1;
(7) \Щ\.....|и,|<И-
? Достаточно рассмотреть случай, когда at = l. Пусть O1 = (U1, аи... ... Ui) и Wi=UiO1... ut. Тогда O1 удовлетворяет тем же самым предположениям (1), (2), (3), что и ot=o. Будем вести доказательство методом индукции. Случай I = I тривиален. Для проведения шага
//. Свободные произведения с объединенной подгруппой
mm
индукции положим Ki-^t; предположим, что выполнены условия (1), (2), (3) и заключения для W1^1 и выведем заключения для до,. Введем следующие упрощающие обозначения:
= и = P-1Ao, +i = v = r
= g = gi _, = до'.
-1As1
¦ gn
'I = ш. где Ig1-
IA
А
<i;
V
I. \S; • • • gnvI= M для всех »;
Если Ap=Aq, то после преобразования и можно предполагать, что |Л| = 1 и p=q. Если |А|=0, то после преобразования и можно считать, что A = I, u=p~1q. Аналогично будем считать, что из Ar=As следует r=s и 1*1 = 1, а также, что из |А|=0 следует A = I. Будем использовать такую лемму:
Лемма 11.2. gu=r'-1A's, где либо г'=г, либо r'=rg~x и |г'| = |г|, причем или A, A' Q Ну—А для некоторого у Ql, или A=A' = 1.
Доказательство леммы 11.2 индукцией по п сводится к случаю п=\ и g E=A^1 |А»|=1, либо gQA*. Случай gQA* очевиден. В оставшемся случае имеем в силу наших предположений |g|<|f| и |gu| = |u|. Однако из |g|<|y| следует |/7«| ^l г |, и если |р«| = |г|, то |А|=1. Если Iр*I = Iг |, то после подходящего преобразования имеем р«=г. Теперьg = h\, v = r-1*s, причем |r| = |s| и 1*1 = 1. В этом случае из |gf| = |i>| следует, что в произведении gu = /-_1A»*s сомножители А* и А сливаются и дают А** = *', где А, А' лежат в одном Hv — A. Таким образом, gv = r~1k's, как и требовалось. Если |р*|<|г|, то можно предполагать, что T = T1A1P*, где IA1I=I, и что в произведении gr-1 = pilhJt?r~l часть А*А-1 сливается. Тогда для г' = rg_1 имеем I/¦'I = IrI и gu = r'_1*s, как и требовалось. Это завершает доказательство леммы 11.2.
Рассмотрим теперь случай і = 2, несущий в себе основную тяжесть рассуждения по индукции. В этом случае ог = (и, a, v).
Будем использовать условия (1), (2), (3) для получения необходимых заключений, принимающих теперь форму
(4') из Ar < As и A = I следует au a= zs для некоторого элемента г;
(5') во всех случаях, кроме Ar < As и A=I, имеем U = ZXs, UuV = Z1X1S для некоторых z, Z1 и для х, X1QH4-A при некотором V Q Г,
(6') если As < Ar и |А|=1, то uavsazfa для некоторого Z1; (7') |«|, |u| <|шк>|.
Заметим сначала, что (7') содержится в (1). Чтобы доказать (4'), предположим, что Ar<As и A = I, так что W=t-1S и a№=r'_1s Для такого г', как и выше. По предположению (1) |«К1нда|, так что
109
по
Гл. I. Свободные группы и их подгруппы
в произведении может сократится, самое большее, подслово г'-1, причем если оно сокращается, то объединений не получается. Поэтому auv оканчивается на s.
Докажем теперь (6'). Пусть As<.Ar и \k\ = \. По (3) \u\<\uav\, откуда вытекает, что снова сокращается не более чем г'-1, а если г'-1 сокращается, то k не объединяется. Таким образом, uav оканчивается на ks.
Докажем теперь (5'). Согласно (1), \u\^\uav\, откуда снова сокращается, самое большее, г'-1. Если г'-1 сокращается и |А| = 1, то k, самое большее, сливается, давая некоторое U1 из того же Hv—А, что и k, и uav оканчивается на kys. Если г'-1 сокращается и k = \, то |и| = |иау| и по (3) Ar<.As. Поскольку k = 1, АгфА&. Но тогда ЛгОІя и k = 1, что противоречит предположениям п. (5'). Остается случай, в котором сокращается часть, меньшая чем r'~l. Но тогда шгу оканчивается на s, а предыдущая буква х или остается без изменения, или сливается, давая букву X1 из того же Hv—Л, что и х.
Тем самым доказательство случая 1=2 закончено. Остается рассмотреть случай 2<0'^. Докажем сначала утверждения (4'), (5'), (6'). Имея в виду уже рассмотренный случай 1=2, заметим, что достаточно показать, что в произведении w'av сокращается не большая часть слова v, чем та, которая сокращается в uav, причем если сокращение по величине одинаково, то слияние в w'av наблюдается только тогда, когда оно есть в uav.
По предположению индукции w' оканчивается на о. Если о не сокращается в uav, то как uav, так и w'av оканчиваются на qav, и все в порядке. Таким образом, можно предполагать, что q сокращается как в uav, так и в w'av. По предположению (1) \vK\uav\, так что в произведении uav в сомножителе и сокращается, самое большее, часть q.
Пусть Ap^Aq. Тогда, согласно (2), \v\<.\uav\. Поскольку о
сокращается в uav, отсюда следует, что М<у \и\, откуда \h\ = l.
