Комбинаторная теория групп - Линдон Р.
Скачать (прямая ссылка):
? На самом деле то же утверждение верно, если потребовать дополнительно Ij=O. Предположим, что это сделано. Тогда х<у=я
102
Гл. I. Свободные группы и их подгруппы
= 1+1м xyl\i=l—і,-, откуда следует, что xai\i = l+a'^i для всех aQZ. Теперь, если wQF и хаф\, то можно записать w=xf*. . . Л'°* , причем ііфі]+1 и все а, отличны от 0. Тогда w\i = (1-foil,,) . . . ... (l-\-ahtik) и общий коэффициент при одночлене E1-_ . . равен Ci1 .. . акф0, так что WfX=^l. ?
Коэффициенты при одночленах более высоких степеней элемента w[i даются аналогом формулы Тейлора, где следует использовать высшие производные Фокса (см. Чен, Фокс и Линдон [1958]).
Андреадакис [1969] дает аналогичное представление для свободных произведений произвольных циклических групп.
Несколько иное, но связанное с этим представление свободной группы степенными рядами получил Фукс-Рабинович [1940, 1940] (см. также Линдон [1953]).
Первое приложение данного представления принадлежит Магнусу:
Предложение 10.2. Если F —свободная группа и ее нижний центральный ряд определен формулами F1=F, Fn+1=[Fn, F]1 то пересечение подгрупп Fn тривиально.
? Из формулы
(*) [х,у]-\=х-1у-і(ху-ух)=х-іу-Ч(х-\)(у-\)-(у-\)(х-])), где [х, у] = х~ху~1ху, мы получаем, что если х — IQ Am иг/ — \ Q А", то [х, y] — lQAm+n. Отсюда с помощью индукции можно доказать, что если wQFn, то w\a— \Q&". Теперь, если w Q Fn для всех п, то w\i— lQAn для всех п; поскольку, очевидно, пересечение всех А" равно нулю, w\i=\ и по предложению 10.1 имеем «1--=1. ?
Группы Dn (F)1 состоящие из всех w, таких, что w= \ (mod А"), обычно называются размерными подгруппами. Мы дадим для них другое определение, которое годится для любых групп и совпадает с этим в случае, когда группа свободна. Вместо кольца П мы будем использовать целочисленное групповое кольцо ZG данной группы G, а А определим как идеал, порожденный элементами g—1, где gQG; тогда Dn(G) определяется как группа, состоящая из всех g, таких, что g~\(mod А"). Как мы увидим позже, Магнус показал, что если F — свободная группа, то Fn=Dn(F) для всех п; гипотеза Gn=Dn(G) для всех п и всех групп G стала тем, что Сандлинг 11972] справедливо назвал проблемой с дурной славой. Эта гипотеза о размерных подгруппах была доказана для большого числа случаев, и все-таки в 1972 году Рипс нашел контрпример. Соберем вместе часть из этих результатов, следуя при этом статье Сандлинга [1972].
Формула (*) показывает, что Gn^Dn(G) для всех п и всех G. Предположим, что для некоторой группы G и некоторого п имеет
10. Представления свободных групп; исчисление Фокса 103
место строгое включение GnCiDn(G). Пусть G=GIGn; тогда легко видеть, что Gn = I, a Dn (G)==M. Таким образом, чтобы доказать эту гипотезу для любого п и класса групп, замкнутого относительно гомоморфизмов, достаточно доказать, что в этом классе из Gn = I следует Dn(G) = I. В частности, достаточно рассматривать нильпо-тентные группы, и, так как ясно, что все сводится к конечно порожденным группам, достаточно рассматривать лишь конечные /?-груп-пы. Ясно, что G1=D1(G)=G для всех групп G. Используя метод Сандлинга, докажем результат Хигмана о том, что G2=D2(G) для всех групп G. Достаточно показать, что из G2=I следует D 2 (G) = 1. Предположим, что G2 = I, т. е. что группа G абелева. Аддитивная группа ZG+ кольца ZG является свободной абелевой группой, причем ее базисом служат элементы g Є G. Определим отображение ф: ZG+-»-G, полагая g<f=g. Поскольку ф переводит (х—1) (у—1) = =ху—X—у+1 в ху-х~х -у1 -1 = 1, то Д2^Кегф. Теперь, если g=?\, то (g—])(ii=g-\-1=g=/=\, так что g— І^Кегф и g— 1^Д\ g^D2(G). Это показывает, что D2(G) = I. См. также работу Грюнберга [1970; разд. 4.1].
Пасси [1969] показал, что если G есть /?-группа и р>2, то G3 = =D?(G), а Моран [1970] доказал, что для произвольной р-группы G Gp^x=D(G). Однако Рипс [1972] опроверг гипотезу о размерных подгруппах, построив пример 2-группы G, для которой G4 = I, но D4#l.
Сандлинг [1972] предложил видоизмененное определение размерной подгруппы, которое в известном смысле ближе к магнусов-скому определению в случае свободных групп. В любом случае, имея в виду контрпример Рипса, кажется разумным перейти к соответствующим образом видоизмененной гипотезе о размерных подгруппах. Пусть S — множество всех g—1 для g^G. Пусть L — кольцо Ли в ZG, порожденное множеством В относительно операции лиева умножения u*v=uv—vu; как обычно, положим L'=L и Ln+1 = Ln*L. Определим теперь п-ю лиеву размерную подгруппу Ln(G) группы G как совокупность всех g, таких, что g=l (mod (L")), где (L") — идеал в ZG, порожденный подкольцом L".
Предложение 10.3. Для всех групп G и всех п имеем GnS SLn(G)SDn(G).
? Это немедленно следует из формулы (*). ?
Магнус [1937] установил, что Gn = Ln(G) = Dn(G) для всех л, если G —свободная группа. На самом деле им было доказано большее. Пусть X — базис для F и B0 состоит из х—1 для всех -Y(EX; Магнус доказал, что тогда L —свободное кольцо Ли (над кольцом коэффициентов Z), свободными порождающими которого являются элементы множества Ви. Он показал, что если g6G„, То в ZG выполняется равенство g~ 1 -f-6 , где Kg — однород-
