Комбинаторная теория групп - Линдон Р.
Скачать (прямая ссылка):
//. Свободные произведения с объединенной подгруппой
113
ряет предположениям леммы 11.1, где Oj = I для Kt. Поскольку U1QU для всех І, условие (2) не требует проверки, в то время как (1) принимает форму \ut\, Пусть ui=u=p~1hp,
u!+1=v=q~1kq, где \h\ = \k\ = \. Предположим сначала, что 1«I^ <!|и|. Выведем противоречие из предположения Ii/uKM. Из этого предположения следует, что подслово hp слова и сокращается в произведении ии. Теперь из IuI^IuI следует |р|^|<7І. Если IpI = = |<7І, то из сокращения слова р следует, что pq~x Q А, и можно считать р =q. Далее из сокращения подслова h вытекает, что h и k лежат в одной и той же группе Hf. Однако тогда все элементы и, и и uv лежат в одной подгруппе С=Н%, что противоречит предположению о том, что / не может быть уменьшено преобразованием (а). Если IpKM, то hp должно сократиться в произведении uq~l, откуда |^«_1КІ<7І. Но из этого следует |и"~'КІУІ в противоречие с минимальностью величины ^]I«;I относительно преобразований (у). Случай |у|^|«| симметричен рассмотренному.
Доказанное позволяет применить лемму 11.1, чтобы, согласно (4), вывести ІИіі^іші, так что гюф\. ?
Частный случай доказываемого ниже предложения 11.9 утверждает, что на самом деле G является древесным произведением некоторого подграфа Г0 дерева Г; в качестве графа Г„ можно взять просто подграф с вершинами А и Hv для всех vQ/, так что это утверждение тривиально.
Изучим теперь подгруппу G* группы G. Пусть — множество всех C* = CnG* для CQ1S, и пусть A* = Af]G*. Положим U* = We*, и пусть N- подгруппа в G, порожденная множеством U*. Понятно, что — нормальная подгруппа в G*.
Построим теперь граф Г*, аналогичный графу Г, вершины которого помечены элементами множества <6*[]{А*}. Для его построения просто заменим каждую вершину С или А вершиной С* или А*, а метку С на каком-либо ребре заменим меткой C0* = =C*° = C°nG*. Граф Г* можно упростить в следующем смысле. Может случиться так, что С* = Cf]G*, где C = H^, на самом деле содержится в Ар, так что С* s C0* є С'*; не исключено даже, что С* = С*. Чтобы исправить это, перейдем к новому графу Г** следующим образом. Если е — ребро, соединяющее С и С в Г и е* — соответствующее ребро в Г*, концами которого на этот раз являются группы С* и С'*, и если С'єС'*, то мы стянем ребро е* в точку. Таким образом, вершина в Г** получается стягиванием некоторого поддерева в Г*. Если C0-метка в графе Г вершины, соответствующей корню стягиваемого дерева, то тогда все метки вершин этого поддерева суть группы С*, такие, что С* s C0. Пометим получившуюся вершину графа Г** группой CJ.
114
Г л. 1. Свободные группы и их подгруппы
Пусть #** —множество меток вершин графа Г**. Понятно, что U #** = U = І/' и что U* — древесное объединение графа Г**. Более того, различные точки графа Г** помечены разными метками, так что можно отождествить вершины с метками, которыми они помечены. Наконец, если С* ? #**, то существует единственный кратчайший р, такой, что С* = //{Jn D G*; впредь в записи С* = Г) G* мы будем иметь в виду именно такой элемент р.
Доказательства предложений 11.3 и 11.4 позволяют получить аналогичные результаты для Г**. Множество U* является древесным объединением дерева Г**, где метки С* и А* рассматриваются просто как множества. Группа N получается из древесного произведения N дерева Г** наложением множества Rl всех верных соотношений u" = w, где и, V, w ? U*. Если обозначить через Rl множество всех верных соотношений UV = W, где U, V, W принадлежат некоторому С* ? S?**, то группа N имеет представление N = (U*, R\, Rl).
Покажем теперь, что N является древесным произведением некоторого поддерева Л дерева Г** без наложения дополнительных определяющих соотношений. Для этого определим S) как множество групп С* = СГ\0*, C = H^1 С*Є#**, для которых смежный класс Ap минимален среди классов Apw, w ? N. Пусть V = KiS). Нам следует показать четыре вещи:
I. Множество S)U[A*} является множеством вершин некоторого поддерева Д дерева Г**.
II. V является древесным объединением дерева Л, если группы в вершинах рассматриваются просто как множества.
III. V порождает N.
IV. N является древесным произведением дерева Д.
Для доказательства п. I достаточно показать, что если вершина С* графа .Г** принадлежит множеству S), то вершина, лежащая непосредственно под С*, также принадлежит S) или равна А*. Предположим, что С = #?оГ)G* лежит в S), где p = ht...hm — нормальная форма элемента р. Тогда вершина, лежащая непосредственно под С* в Г**, имеет вид C1 = ZZ1/.+'" mr\G*, причем
/ — наименьшее число, такое, что C1* лежит в "€**. Если числа і с этим свойством нет, то такой вершиной является А*. Далее Ci=ZZJi1- DG*, где p = pxq. Если C1 не лежит в S), то для некоторого w Є N имеем C\w = П G*, причем Aqw < Aq. Однако
из этого следует Apw < Aq в противоречие с предположением о том, что С* 6 S).
Утверждение II непосредственно следует из 11.3.
Для доказательства утверждения III введем для каждого п^О подгруппу Nn группы N, порожденную А* и всеми C* = tfftof|G* из *в*, для которых \рКп; введем также подгруппу Mn, порож-
