Комбинаторная теория групп - Линдон Р.
Скачать (прямая ссылка):
Очевидно следующее
Предложение 7.1. Можно подобрать такое множество I, 0(?/, что существует разбиение множества X на подмножества X0 и Xi, і QI, и разбиение множества S на связные подмножества S1, і Q I, такие, что X0 есть множество элементов из X, не встречающихся в элементах из S и X1—это в точности множество букв х QX, встречающихся в Sit для каждого iQl.
Это предложение позволяет сводить изучение подмножеств 5 группы F к тому случаю, когда они связны и содержат все х из X.
Нам понадобятся следующие леммы.
Лемма 7.2. Предположим, что T — неориентированное дерево, содержащее некоторый бесконечный путь. Тогда можно ориентировать ребра дерева T таким образом, чтобы оно не содержало никакого бесконечного убывающего пути и чтобы в нем не было максимального элемента.
? Пусть W0— произвольная вершина дерева Т; тогда существует бесконечный путь, не проходящий через V0. Пусть T0 состоит из объединения всех бесконечных путей, не проходящих через V0. Мы ориентируем T0 вверх в направлении от v0, по определению графа T0 относительно такой ориентации он не содержит максимального элемента, в то время как любой убывающий путь из T0 кончается
90
Г л. I. Свободные группы и их подгруппы
на V0. Каждая компонента К дополнения для T0B T прикреплена к T0 в единственной точке V и по определению не содержит бесконечного пути. Мы ориентируем каждое такое К вверх по направлению к v. Ясно теперь, что T с данной ориентацией не содержит бесконечных убывающих цепей и максимальных элементов. ?
Лемма 7.3. Предположим, что X0— частично упорядоченное подмножество множества X, удовлетворяющее условию обрыва убывающих цепей. Для каждого х из X0 пусть рх и qx— элементы из F, содержащие х' из X0, только если х'<Сх. Тогда существует автоморфизм группы F, переводящий каждый х из X0 в pxxqx.
? Пусть а — эндоморфизм группы F, такой, что xa=pxxqx для каждого XQX0W ха=х для каждого х Q X—X0. Достаточно построить эндоморфизм ?, обратный к а. Понятно, что необходимо и достаточно, чтобы хР = (рхР)-1х(<7жР)-1 для каждого X из X0 и x?=x для всех X из X—X0. Поскольку порядок на X0 удовлетворяет условию минимальности, условия леммы позволяют дать рекурентное определение эндоморфизма ?. ?
Следующие три предложения разбирают три возможных случая для связного квадратичного множества S над X.
Предложение 7.4. Пусть S квадратично над X, связно и бесконечно. Тогда некоторый автоморфизм группы F переводит S в некоторое подмножество базиса X.
? Обозначим через J граф инцидентности множества S. По предположению он связен. Поэтому существует максимальное дерево TbS, содержащее все вершины графа /. Поскольку T бесконечно, но локально конечно, по лемме Кёнига оно содержит бесконечный путь. Ориентируем Т, как это сделано в лемме 7.2. Из отсутствия в T максимальных элементов следует, что каждая вершина s соединена с некоторой высшей вершиной s' ребром с меткой х=х (s). Выберем по одному х=х (s) для каждого s из S и обозначим через X0 множество всех таких х=х (s). Поскольку S квадратично и х встречается и в s, и в s', он встречается в s в точности один раз, так что (заменяя s на s-\ если нужно) можно предполагать, что s=pxxqx для некоторых слов рх и qx, не содержащих х. Ориентация дерева T индуцирует упорядоченность на множестве S вершин, удовлетворяющую условию минимальности; следовательно, упорядоченным становится и множество X0 элементов x(s), s из S. Из определений следует, что Px и qx содержат х' из X0, лишь когда x'=x(s'), rji?s'— элемент, предшествующий S. Таким образом, условия леммы 7.3 выполнены и обратный к приведенному в ней автоморфизму переводит s в x(s), а значит, S — в подмножество X0 из X. ?
7. Квадратичные множества слов
91
Предложение 7.5. Пусть S квадратично над X, но не строго квадратично, а также конечно и связно. Тогда существует автоморфизм группы F, переводящий S в подмножество множества X.
? Предположим, что JnT означают то же, что и выше. Поскольку S не строго квадратично, существует S0 в S1 содержащее порождающий X0 из X, не встречающийся в остальных словах s' из 5. Ориентируем T навстречу S0. Положим x0=x(s0) в X0, а остальные x=x(s) из X0, как и прежде. Поскольку T конечно, индуцированный порядок на X0 снова удовлетворяет условию минимальности и заключение вытекает из 7.3. ?
Если S — произвольное множество циклических слов свободной группы F, то говорят, что нильсеновское преобразование а связано с S, если либо а сингулярно и вычеркивает некоторую букву, встречающуюся в S, либо а регулярно и некоторое вхождение буквы, возникающей в S после применения а, сокращается при переходе к приведенной форме множества Sa; в этом последнем случае для некоторых букв X и у имеем ха=ху, причем некоторый элемент из S содержит подслово (ху1)*1. Если S конечно и квадратично, то, понятно, а связано с S тогда и только тогда, когда |Sa|^|S|, где ISI=YIsI. Скажем, что последовательность нильсеновских преоб-
IiS
разований а1( . . ., ап связана с S, если для любого i, аг
связано с Sa1 . . . GCj-1.
Предложение 7.6. Пусть S строго квадратично над X, конечно и связно. Тогда некоторый автоморфизм а группы F переводит S в S'=Sa следующего вида: S' = {si, . . ., Sn}, где Sj=X1, . . ., Sn-1= =хп-1 и Sn=ATx . . . хп-1<7, причем X1, . . ., хп-1—элементы из X, a q имеет вид q=\yu у2] . . . \y2g-u yig] или q=y\ . . .у\, где yt — различные элементы из X — {хи . . ., Xn-1}. Более того, переход от S к S' может быть осуществлен последовательностью преобразований, связанной с S.
