Комбинаторная теория групп - Линдон Р.
Скачать (прямая ссылка):
Предложение 6.11. Если W= {w} для некоторого нетривиального элемента свободной группы Ф ранга п, то Ir (W)=n—1 тогда и только тогда, когда W лежит в нормальном замыкании некоторого элемента базиса группы Ф. ?
Еще один результат в этом направлении был опубликован Баумслагом и Стейнбергом независимо. См. Г. Баумслаг и А. Стейнберг [1964], Г. Баумслаг [1965] и А. Стейнберг [1964].
Предложение 6.12. Пусть W={w}, где W=W1(I1, ¦ ¦ •. In-J In и W1 не является членом никакого базиса группы Ф, свободной группы от порождающих Ел, . . ., In, в которой W1 не является собственной степенью и k>\. Тогда Ir[WXn—1. ?
Случай W = [^1, 1г] содержится в уже цитированной работе Шютценберже.
Столлингс [1975] помещает пример Линдона некоторой группы с одним определяющим соотношением G = {xit . .., х„; г), где г — произведение п(п— 1)/2 сомножителей [ха.і/, х°'/]ьи, і < /, причем все au различны и йцЪц = 2н для некоторого фиксированного N. У этой группы нет неабелевой свободной факторгруппы.
Обратимся теперь к некоторым общим фактам о решениях систем уравнений в свободных группах. Вначале приведем два простых замечания.
Предложение 6.13. Если W — некоторое множество слов в свободной группе Ф u If' = Wa — образ множества W при некотором автоморфизме группы Ф, то Ir(W) = Ir(W)- ?
88
Г л. I. Свободные группы и их подгруппы
Предложение 6.14. Если W — множество слов свободной группы Ф и W° получается из W, если положить ?,- = 1 для некоторого порождающего It, то Ir(W)^sIr(W0). ?
В связи с предложениями 6.13 и 6.14 заметим, что если ф — произвольное решение системы W, т. е. W^p=i и W = Wa, тоф' = =а-1ф — решение системы W'. Пусть ф — произвольное решение; определим |ф| = 2|Е,ф|, где длина слов берется относительно произвольного фиксированного базиса свободной группы и=Фц>. Элементарное нильсеновское преобразование группы Ф вида E/—»-Eji, где Е, и т] — некоторые из E/1, будет называться регулярным преобразованием, связанным с системой W, если некоторое циклическое слово, сопряженное с элементом из W, содержит подслово (Erj-1)*1. Преобразование вида Е; н—> 1 будет называться сингулярным преобразованием, связанным с системой W, если Ej встречается в некотором циклически приведенном сопряженном элемента w из W. Предположим теперь, что система W нетривиальна и что все Е;ф отличны от 1; тогда последовательность регулярных элементарных преобразований, связанных с W, переводит W и ф в W' и ф', такие, что |ф'|^|ф| и Е,гф' = 1 для некоторого і. Далее, ф' индуцирует решение ф" системы W" , полученной из W сингулярным преобразованием І, 1. Повторяя этот процесс, либо убавляющий число Еь встречающихся в W, либо, если это число фиксировано, уменьшающий |ф|, мы окончательно придем к W* и ф*, где W* тривиальна. Ясно, что [/=Фф=Фф* и что и=Фц>* имеет ранг не более п—s, где s — число примененных сингулярных преобразований. Более того, значение решения ф* может быть выбрано произвольно на п—s элементах Ег нового базиса группы Ф, не аннулированных сингулярными преобразованиями. Будем говорить о последовательности ть . . ., xt преобразований, связанных с системой W, если для любого І, 0^Xt, X1— регулярное или сингулярное преобразование, связанное с Wx1 . . .T1-1. Итак, мы доказали следующее
Предложение 6.15. h(W)=n—s, где s — минимальное число сингулярных преобразований в некоторой последовательности, связанной с W и приводящей W к тривиальной форме. ?
Кажется, что применение этого предложения реально лишь в случае, когда система W существенно квадратична, т. е. когда W состоит из множества степеней w=smis) элементов из множества 5, такого, что каждый порождающий Ег встречается (как E/1 или Er1) не более двух раз в элементах множества S. Действительно, в этом случае множество систем W', получающихся из W с помощью последовательностей, связанных с W, конечно. По этой причине, а также вследствие их важности в связи с изучением групп с плоскими диаграммами Кели и фуксовых групп квадратичные множества изучаются нами особо.
7. Квадратичные множества слов
89
7. Квадратичные множества слов
Большую часть излагаемого ниже материала можно найти в работах Хора, Карраса и Солитэра [1971, 1972], хотя, согласно их ссылке, основные идеи восходят к Нильсену [1918] и в неявном виде содержатся в стандартной процедуре, применяемой при классификации компактных 2-многообразий; см., например, книгу Масси (Масси, Столлингс [1977]) . В ситуации, близкой к рассматриваемой, они были использованы Линдоном [1959] и Цишангом [1964].
Пусть F — свободная группа с базисом XhS — некоторое множество циклических слов над F. Назовем множество S квадратичным над подмножеством X0 множества X, если никакой элемент s из S не содержит никакого л; из X (ни ни л:-1), за исключением лежащих в X0, а эти последние входят в элементы из S не более чем дважды. Множество 5 называется строго квадратичным над X0, если при этом каждый х из X0 встречается в точности дважды. Для любого подмножества S свободной группы F с базисом X определим граф инцидентности J (S) как неориентированный граф, вершинами которого являются элементы множества S. Вершины Si и S2 соединяются ребром (с меткой х), если некоторый элемент X б X встречается как в S,, так и в S2 из 5. Назовем множество S связным, если связен J (S).
