Комбинаторная теория групп - Линдон Р.
Скачать (прямая ссылка):
(Зх)(Sy)(Vz)(Iu)(и2 = z или и2 = ZX или u2 = zy или и2== zxy).
80
Г л. I. Свободные группы и их подгруппы
Частичные результаты по обсуждаемой проблеме получены Сасер-дотом [1972, 1974]
Обратимся теперь к вопросу о разрешимости теории некоторого класса свободных групп: пусть дано высказывание на элементарном языке теории групп, и требуется определить, истинно ли оно во всех группах рассматриваемого класса. Если этот класс пуст или содержит только тривиальные группы, положительный ответ оче- < виден. Для класса свободных групп ранга 1 (т. е. бесконечных цик- 1 лических групп) положительное решение проблемы есть классический результат Прессбургера [1929]. Для сравнения упомянем, что -элементарная теория свободных абелевых групп (так же как и тео- ] рия всех абелевых групп) разрешима, в то время как теория сво- \ бодных абелевых полугрупп, как известно, неразрешима. ¦
Именно в связи с этими проблемами Р. Вот (не опубликовано) поставил следующую проблему: истинно ли предложение
(Wx) (Wy) (Vz) (x2y2z2 =\=>ху = ух)
во всех свободных группах? Положительное решение было получено Линдоном [1959], а дальнейшие результаты были получены Г. Баум-слагом [1960], Шенкманом [1959], Шютценберже [1959] и Линдоном и Шютценберже [1962], доказавшими, что любые элементы свободной группы х, у, z, удовлетворяющие соотношению xmynzP=\ при т, п, /7^2, содержатся в некоторой циклической подгруппе. Шютценберже [1959] показал, что из равенства Ix, y]=zk при ?>І в свободной группе вытекает принадлежность элементов х, у и z некоторой циклической подгруппе, а значит, на самом деле, z=1. Иначе говоря, никакой нетривиальный коммутатор в свободной группе не является собственной степенью. Это утверждение следует также из полученных позднее более общих результатов Карраса, Магнуса и Солитэра [1960] и Г. Баумслага и Стейнберга [1964].
Аналогичная проблема для свободных метабелевых групп (т. е. групп вида FfF", где F" — второй коммутант свободной группы F), изучалась Г. Баумслагом и Малером [1965] и Линдоном [1966]. Решение проблемы Вота было обобщено Уиксом [1974] на случай свободных произведений. Он показал, что если G — свободное произведение двух групп, причем ни одна из них не имеет элементов второго порядка и каждая удовлетворяет условию, что из x2y2z2=1 следует ху=ух, то G также удовлетворяет этому условию.
Аналогичные проблемы для полугрупп изучались Лантэном [1970, 1972]; см. также Нива [1970]. Формула для полугрупп, доказанная Лантэном, была перенесена на случай групп Пиолле [1975]; она тесно связана с вариантом формулы Римана — Гурвица, найденным Хором, Каррасом и Солитэром (см. ниже III.7.8).
1J Ю. И. Мерзляков доказал совпадение позитивных теорий свободных неа-белевых групп (Алгебра и логика, т. 5, 1966, № 4, с. —42).— Прим. ред.
6. Уравнения над группами
81
Решение проблемы Вота может быть переформулировано следующим образом: если х, у, z — элементы свободной группы F1 такие, что л:2г/222== 1 , то свободная подгруппа U, порожденная х, у, г, имеет ранг не выше 1. Это можно обобщить следующим образом. Пусть W — произвольная система уравнений Wj(I1, ... , |„)=1, внутренний ранг Ir(W) которой мы определим как максимум рангов подгрупп U свободных групп F, порожденных решениями ЛГя = ?ьф
системы W. Если Ф — свободная группа с базисом I1.....?„ и
G — факторгруппа, получаемая из Ф наложением соотношений Wj= = 1, то Ir(W) есть, очевидно, максимальный ранг свободных гомоморфных образов группы G. Это позволяет определить внутренний ранг Ir(G) для произвольной группы как максимальный ранг ее свободных гомоморфных образов; это понятие является двойственным к понятию «внешнего ранга», т. е. минимального ранга свободных групп F, таких, что G — гомоморфный образ группы F. Ясно, что «внешний ранг» G — это наименьшая мощность порождающего множества группы G. Это понятие независимо возникло также и в теории фундаментальных групп 3-многообразий и привело Джако [1972] к следующей теореме, для которой он дал геометрическое доказательство:
Предложение 6.4. Пусть G=G1KG2 (свободное произведение). Тогда Ir(G)=Ir (G,)+Ir(G2).
? Пусть сначала ф, (/=1, 2) — гомоморфизм группы Gi на свободную группу F1 максимального ранга Ir(G,). Тогда фі и ф2 имеют общее продолжение до гомоморфизма ф из G на F=F1VtF2, свободную группу ранга Ir(G1)H-Ir(G2). Это доказывает, что Ir(G)>Ir(G1) + + Ir(G2). Для доказательства обратного предположим, что ф — гомоморфизм группы G на свободную группу F максимального ранга Ir(G). Если F1=G1(P и F2=G2(p, то можно построить индуцированный гомоморфизм из Fi*F2 на F, так что ранг группы F не превосходит ранга группы Fi*F2, т. е. Ir (G)^Ir (Gi)+Ir (G2). ?
Известно (см. Цишанг [1962]), что если w строго квадратично относительно X1, . .. , хп, то Ir (до) равно [я/2], целой части числа я/2. Это следует из предложения 7.13, но в случае w=x\.. .Xn содержится в более общем результате Линдона, Макдоноу и М. Ньюмана [1973]. Мы приведем несколько более сильный вариант их результата (Лин-дон [1973]), опирающийся на одну лемму из линейной алгебры.
