Комбинаторная теория групп - Линдон Р.
Скачать (прямая ссылка):
Теорема 9.6. Пусть F — свободное произведение, R — симметризованное подмножество в F, N — нормальное замыкание для ReFu G=FIN. Допустим, что R удовлетворяет условиям J и С (1/6).
Предположим, что и и z — нетривиальные циклически R-npuee-денные слова, сопряженные в G, но не в F. Тогда существует h?F, такое, что u*=nz*h~1 в б, где и* и г* — циклически приведенные элементы, сопряженные с элементами и и z соответственно, причем h удовлетворяет следующему условию:
9. Теория малых сокращений над свободными произведениями
373
(1) h=b1 или H=O1O2, где каждое bj, J=I, 2,— это блок последовательных букв, входящих в некоторый циклически приведенный элемент г, из R, такой, что И<6 max (\и\, \z\).
Более того, по крайней мере один из элементов и, z имеет длину, большую 1.
Если F — конечно порожденная группа с разрешимой проблемой сопряженности и существует алгоритм, который по данному с^F определяет, существует или нет циклически приведенный элемент r?R, такой, что И<Сб|с| и г=cd в приведенной форме, и предъявляет элемент г, если он существует, то проблема сопряженности разрешима и в G.
? Геометрия диаграммы сопряженности M для и и г в точности та же самая, как и в доказательстве теоремы 5.4. Будем использовать обозначения из этой теоремы. В случае 1, когда имеется область D, более 1/6 метки которой находится на одной из границ карты М, существует простой путь ? от о к т, такой, что ?sdD. Разрежем карту M вдоль пути ? и перейдем к односвязной карте M'. Тогда
Рис. 9.2.
получим u'b(z')~1b-1 ? /V, где и' и z'—слабо циклически приведенные элементы, сопряженные с элементами UHZ соответственно, a b — метка на ?.
Для получения ситуации, требуемой заключением теоремы, возможно, понадобится небольшая подгонка. Заметим, что и' циклически приведен в том и только том случае, когда ? не начинается во вторичной вершине. Аналогично (г')'1 циклически приведен тогда и только тогда, когда ? не оканчивается во вторичной вершине.
Рассмотрим для примера случай, когда ? и начинается, и оканчивается во вторичных вершинах. Этот случай иллюстрируется рис. 9.2. Первичные вершины отмечены звездочкой.
374
Гл. V. Теория малых сокращений
Полусегменты Єі и е2 оба принадлежат границе dD. Пусть ср (c1)== =«i и cp(e2)=z2-1. Запишем ^=U2U1 и (z')~1=z21z1~1. Имеем
и'Ь (г')"1 о-1 € Л/.
Вставляя Z2-1Z2 после (г')-1 и сопрягая элементом U1, получаем
(U1U2) (U1Oz21) (Zf1Z2-1) (Z2Zj-1Wf ? N.
Теперь u*=«!«2 и z*=z2Zi — циклически приведенные элементы и O1=U1Oz21 — в точности подпоследовательность букв, встречающихся в некоторой циклически приведенной метке для dD. Другие возможности, при которых ? начинается или оканчивается полусегментом, разбираются столь же легко. В случае (2), когда диаграмма сопряженности имеет толщину двух областей, поправка на вторичные вершины также при необходимости может быть введена.
Тот факт, что один из элементов и, z имеет длину более 1, следует очевидным образом из того, что более 1/6 части метки некоторой области лежит на одной из границ карты М. На самом деле, используя доказательство теоремы 4.6, можно сделать вывод, что длины обоих элементов и и z больше 1. Важным здесь является то, что переход к факторгруппе G с малым сокращением не делает сопряженными те элементы множителей X1 группы F, которые не были сопряжены уже в этих множителях. ?
10. Произведения с малым сокращением
В этом разделе мы обсудим некоторые алгебраические приложения теории малых сокращений.
Группа G называется произведением групп Xt, если существуют изоморфизмы vt из Xi в G, такие, что G порождается образами (VjX;). В этом случае, если F — свободное произведение F=*Х;, то все V; одновременно продолжаются до эпиморфизма v из F на G, ядром которого является N. В случае когда N — нормальное замыкание в F множества R, удовлетворяющего предположению С (1/6) о малом сокращении, группа G называется произведением с малым сокращением. Заметим, что если F=*Xt и v: F-^G имеет ядро N, равное нормальному замыканию множества R, удовлетворяющего условию С (1/6), то по следствию 9.4 каждое v; — мономорфизм, где G — произведение с малым сокращением.
Мы увидим, что эти произведения обладают рядом хороших свойств и являются мощным средством изучения проблем вложения и присоединения решений уравнений над группами.
Наша следующая теорема показывает, что произведения с малым сокращением хорошо себя ведут по отношению к кручению.
Теорема 10.1. (Теорема о кручении.) Пусть F — свободная группа или свободное произведение, a R — симметризованное под-
10. Произведения с малым сокращением
375
множество в F, удовлетворяющее условию С (1/8). Рассмотрим естественное отображение v: F-+-FIN.
Если w имеет конечный порядок в G=FIN, то либо (i) DD=V (w'), где w — элемент конечного порядка в F, либо (и) некоторое гQR имеет вид r=vn, a w сопряжено с некоторой степенью элемента v в G.
Теорема 10.1 утверждает, что все элементы конечного порядка в G именно таковы, каких мы и ожидали. Если R не содержит собственных степеней, a F — группа без кручения (что, конечно, имеет место, когда F свободна), то FIN без кручения. В общем случае, если R не содержит собственных степеней, произведение с малым сокращением не привносит новых конечных порядков.
