Комбинаторная теория групп - Линдон Р.
Скачать (прямая ссылка):
Для проверки условия C(A) для минимальных последовательностей нам нужно показать, что если гх и т2 — соотношения, такие, что гхг2 имеет длину четыре или менее, то гхг2 либо тривиально, либо является еще одним соотношением. Теорема 8.2 показывает, что два соотношения из одной и той же элементарной части, не являющиеся взаимно обратными, не могут сокращаться более чем на одну букву. Если ни гх, ни г2 не является производным соотношением и если они получаются из различных элементарных частей, то сократившиеся порождающие — это X0 и X1. Поскольку соотношения из каждой элементарной части удовлетворяют C(A), гг— это соотношение, соответствующее верхнему или нижнему пересечению своей элементарной части. Так как в г2 сократились две буквы, г2 — это соотношение, возникающее из соответствующего пересечения своей элементарной части, а гхг2 — производное соотношение. Таким образом, можно предположить, что одно из этих соотношений — без потери общности можно считать, что это гг,— производное соотношение. Поскольку рассуждение симметрично относительно верхних и нижних пересечений, мы будем предполагать, что тх — производное соотношение, соответствующее верхнему пересечению.
Случай 1. Допустим, что T1 равно PiQr1QjPj'1- Если г2 — соотношение, соответствующее некоторому пересечению В то оно должно иметь вид PjQ[1Xi Xo1, так как для соотношений из элементарной части выполняется C(A). Таким образом, r1r2=PiQj'1X1Xu~1. Если г2 — производное соотношение, соответствующее верхнему пересечению, оно должно иметь вид PjQf1QhPk1 и гхг2 равно PiQf1Qi1Pf1-Допустим, наконец, что T2 — соотношение, соответствующее нижнему пересечению. Тогда г2 обязано начинаться с UjVf1 (где Uj=Pj и Vj=Qj). Это невозможно.
Случай 2. Пусть гх равно Qf1Q3Pf1P1. Понятно, что г2 должно быть производным соотношением. Если оно соответствует пересечению сверху, оно должно равняться rf1. Если г2 соответствует пересечению снизу, оно должно начинаться с Uf1Uj (где U1=Pi и
8. Приложения к группе узлов
365
Uj-Pj)-Однако такая последовательность показателей невозможна для соотношений, соответствующих пересечению снизу.
При проверке условия T (4) для минимальных последовательностей мы можем предполагать, что T1- производное соотношение и что в произведениях rxr2, г2г3 и ГцП в точности одна буква из каждого сомножителя сокращается.
Случай 1. Допустим, что T1-это PjQT1QjPr1. Если г2 —производное соотношение, соответствующее пересечению сверху, то произведение A1T2 не является минимальным. Таким образом, эту возможность следует отбросить.
Подслучай (і). Предположим, что Pj = V1- и r2 = UjUT1V11VT1. Тогда г„ имеет вид VjA-1BPT1. Поскольку P1- = U1, должно быть Vj^Qj. Следовательно, г3 является определяющим соотношением, соответствующим пересечению снизу, rs = VjVT1UiUT1 • Однако тогда P1 = Uj, что противоречит единственности элементарной части, в которой лежит P1.
Подслучай (ii). Случай, когда rs — производное соотношение, в точности совпадает со случаями, когда T1 и г2 —производные соотношения. (Надо рассмотреть последовательность r3, T1, га.) Таким образом, можно предполагать, что ни гг, ни г3 не являются производными соотношениями. Тогда г2 получается из элементарной части Jj, а г3 получается из элементарной части J1-. Порождающий, сокращающийся в произведении г2г3, должен равняться X0 или X1. Далее, г2 начинается на P1, a P1 примыкает к X0. Область Pj не может примыкать к X1, так как тогда P1, X0 и Xj—три области, каждая пара из которых имеет в пересечении общее ребро. Доказательство теоремы 8.2 показывает, что это невозможно. Остается сделать вывод, что последняя буква в л2 — это X01. По условию С (4) на соотношения из элементарной части J1 имеем r2 = PjQT1X1X01. Следовательно, r3 = X0A-1BP-1. По С(4) в J1 имеем T3 = X0Xt1Q1PT1- Значит, г3г3 не является минимальным.
Случай 2. Допустим, что T1-это QT1QjPT1Pi- Как и прежде, если г2 — производное соотношение, соответствующее пересечению сверху, произведение гхгг не является минимальным.
Подслучай (і). Если г2 —производное соотношение, соответствующее пересечению снизу, то Pj = Uі и г2 = UT1V1Vk1Uк. Тогда г8 имеет вид UT1AB-1Q1. Поскольку Q1-^=V,-, r3 = PT1P1QT1Qi, что влечет за собой неверное равенство P1 = Uk при і Ф к.
Подслучай (ii). Предположим, что ни т2, ни г3 не являются производными. Тогда они оба получаются из некоторой элемен-
366
Гл. V. Теория малых сокращений
тарной части Поскольку гг, г2, г3 имеют сокращения во всех последовательных произведениях, тем же свойством обладает и последовательность г[, г2, г3, где Ti = Q11-1X1X0T1P,-. Это противоречит условию T (4) на соотношения из если только одно из соотношений г2, гя не имеет вида (г[)~1. Последнее предположение дает противоречие по той причине, что тогда одно из слов г2, г3 не является циклически приведенным. Если, например, г2 = (Гі)_1, то г3 обязано начинаться с Qf1 и кончаться на Q1., поскольку в г2г3 и г3гг должно быть сокращение. Этим доказательство того, что пополненное представление для H удовлетворяет условию С (4) и T (4) для минимальных последовательностей, закончено. Таким образом, нами доказана
