Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Линдон Р. -> "Комбинаторная теория групп" -> 163

Комбинаторная теория групп - Линдон Р.

Линдон Р., Шупп П. Комбинаторная теория групп. Под редакцией Ремесленникова В.Н. — М.: Мир, 1980. — 447 c.
Скачать (прямая ссылка): kombinatornteor1980.djvu
Предыдущая << 1 .. 157 158 159 160 161 162 < 163 > 164 165 166 167 168 169 .. 202 >> Следующая

Должна существовать петля п, внутренняя по отношению к остальной части границы 3D. Петля tj не может иметь вершины степени 1, так как это находилось бы в противоречии с тем, что метка на dD имеет нормальную форму. Следовательно, т) ограничивает односвязную подкарту К карты М. Однако К приведена, поскольку D — первая из областей, в которой отождествляются ребра. Значит, К удовлетворяет утверждению (1) доказываемой леммы. Используя то же рассуждение, которым в лемме 4.1 доказывалось, что границы областей в (р, #)-карте — простые замкнутые кривые, получаем противоречие. Остается сделать вывод, что D не может существовать. ?
Согласно лемме 9.2, геометрия /^-диаграмм для множеств/?, удовлетворяющих условию С (1/6), совершенно такая же, как в случае свободной группы. В частности, можно сделать вывод, что теоремы 4.4 и 4.5, полученные из геометрических свойств приведен-
9. Теория малых сокращений над свободными произведениями
371
,їх /^-диаграмм, справедливы и в случае свободных произведений, і ia первый взгляд в этих теоремах утверждается, что в случае свободных произведений нетривиальный элемент w из нормального замыкания N множества R в группе F имеет вид W=W1S1U2S2- • • . . . UjSjUj+1 в полуприведенной форме, причем для каждого Sj существует г,- Z R, такое, что справедливо полуприведенное равенство ri=Siti, а число / элементов s и их длины Is1I удовлетворяют заключениям теорем. Однако, используя лемму 9.1, можно сделать вывод, что W=U1S[U2S2.. .UjS'jUj+1 в приведенной форме, где для каждого st существует циклически приведенное г і Z R, такое, что справедливо приведенное равенство r,-=S;^, а число / элементов Si и длины элементов S1 удовлетворяют одному из заключений теоремы 4.5. Таким образом, нами доказана
Теорема 9.3. Пусть F — свободное произведение, a R — симметризованное подмножество в F, удовлетворяющее условию С (Я), где Я=<С1/6. Допустим, что N — нормальное замыкание множества R в F. Тогда нетривиальный элемент w из N имеет приведенное разложение
W = USV
в приведенной форме, причем существует циклически приведенный элемент г ZR, такой, что справедливо приведенное равенство r=st и IsIXl—ЗХ)|г|.
Более того, для некоторого циклически приведенного элемента w*, сопряженного с элементом w, имеем
W* = U1S1U2S2. . .U1SjUj + 1
в приведенной форме, причем для каждого st существует циклически приведенный элемент T1 Z R, такой, что U=SiI1 в приведенной форме, а число j элементов st и длины этих элементов удовлетворяют заключениям леммы Гриндлингера. ?
В частности, в N не может быть элемента длины один. Мы выделим особо это важное свойство факторгрупп свободных произведений с малым сокращением.
Следствие 9.4. Пусть F=*Xt — свободное произведение, R — симметризованное подмножество в F, удовлетворяющее условию С (1/6), и N — нормальное замыкание для ReF. Тогда естественное отображение у: F-+FIN изоморфно вкладывает каждый множитель X1 группы F в группу FlN. ?
Проведенные нами рассуждения не зависят от каких-либо предположений о конечности или эффективности группы F или множества R. Вывод о том, что нетривиальный элемент из N содержит более половины некоторого элемента из R, позволяет нам применить
372 Г л. V. Теория малых сокращений
алгоритм Дэна для решения проблемы равенства во многих случаях когда F — свободное произведение, a R — бесконечное множество! Посылки следующей теоремы позволяют нам эффективно использовать алгоритм Дэна, чтобы попытаться уменьшить длину произвольного слова w. В случае свободных произведений мы переходим либо к слову w, представляющему 1 в F, либо к элементу из F, длину которого далее уменьшить нельзя.
Теорема 9.5. Пусть F=X1*. . .*Хп — конечно порожденное свободное произведение с разрешимой проблемой равенства слов. Допустим, что R — симметризованное подмножество группы F, удовлетворяющее условию С (1/6). Предположим, что существует алгоритм, по данному слову c?F определяющий, существует или нет циклически приведенное слово г ? R, удовлетворяющее условиям |г|<; <2|с| и r=cd в приведенной форме, и выдающий такое г, если оно существует. (Из условия сокращения следует, что если такое слово существует, то оно единственно.)
Пусть N — нормальное замыкание множества ReF. Тогда проблема равенства в G=FIN алгоритмически разрешима. ?
Для данного слова s ? F будем писать s>kR в случае, когда существует r?R, такое, что r=st в приведенной форме и |s|>?|r|. Назовем слово w R-приведенным, если оно не представимо в виде w=bsc в приведенной форме, причем s>(H2)R. Слово w называется циклически R-приведенным, если w циклически приведено и все циклически приведенные перестановки этого слова /^-приведены.
Займемся изучением сопряженности. Доказательство леммы 9.1, показывающее, что диаграмма M минимальной /?-последователь-ности приведена, использует тот факт, что M односвязна. Поэтому при нашем исследовании сопряженности мы будем предполагать, что выполнено
Условие J: Если г Є R, то г и г-1 не сопряжены в F.
При условии J нам не придется беспокоиться о случае, когда отождествление двух ребер одной и той же области приводит к диаграмме сопряженности, не являющейся приведенной. Анализ структуры диаграмм сопряженности в этом случае получается в точности таким же, как и для свободных групп.
Предыдущая << 1 .. 157 158 159 160 161 162 < 163 > 164 165 166 167 168 169 .. 202 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed