Комбинаторная теория групп - Линдон Р.
Скачать (прямая ссылка):
S ~ Zj1-1SZj1 ~ Zj8ZZj21 ~ t.
5. Приложения к группе узлов
357
Поскольку s0 и /„ — циклические перестановки элементов u и 2 соответственно, имеем
Так как все S1- и t( лежат в W, нами установлено, что и~ ~ г. ?
8. Приложения к группе узлов
Одно из интересных направлений в теории малых сокращений — приложение этой теории к решению проблем равенства и сопряженности для групп альтернированных ручных узлов. Мы будем предполагать, что читатель знаком с небольшим количеством предварительных сведений об узлах и их группах, которые могут нам потребоваться (см. Кроуэлл и Фокс [1967]). В этом разделе слово «узел» всегда будет означать ручной узел в общем положении относительно плоскости, на которую он проектируется. (Таким образом, в проекции имеется лишь конечное число кратных точек, причем каждая кратная точка — изолированная двойная.)
Глубокая теорема Вальдхаузена [1968] утверждает, что группа любого ручного узла имеет разрешимую проблему равенства. Однако даже мощные методы, развитые Вальдхаузеном с использованием достаточно больших трехмерных многообразий, не проливают никакого света на проблему сопряженности. Простой узел — это узел, не являющийся объединением двух нетривиальных узлов. (Хотя в настоящем историческом обзоре мы и упоминаем понятие простого узла, в доказательстве оно не нужно.) Вайнбаум [1971] обнаружил, что если G — группа простого альтернированного узла К, то группа ff=G*0c>— свободное произведение группы G на бесконечную циклическую—обладает представлением, удовлетворяющим условиям предположения о малом сокращении C(A) и T(A). Затем Аппель и Шупп [1972] доказали, что проблема сопряженности алгоритмически разрешима для группы любого альтернированного узла.
При обсуждении проекций узла мы будем предполагать, что все они лежат внутри некоторой плоскости, где мы и будем работать. Если П — некоторая проекция узла, то дополнение множества П в нашей плоскости состоит из конечного числа областей (связных компонент), которые мы всегда будем обозначать через X0, X1,... .. ., Х,л+], где X0 —неограниченная область. Нам придется работать с проекциями, обладающими некоторыми свойствами. Прежде всего, исходя из произвольной проекции узла К, мы можем эффективно перейти к проекции П, удовлетворяющей следующему условию:
(1) Произвольная вершина проекции П лежит на границе четырех различных областей.
Допустим, что нам дана проекция П*, содержащая некоторую вершину V, в которой встречается только три области. В плоскости
358
Гл. V. Теория малых сокращений
проекции П* существует простая замкнутая кривая б, пересекающая П* только в точке V и разделяющая П* на две части. Поворачивая узел вокруг части проекции, лежащей внутри б, мы можем избежать пересечения в точке v. (См. рис. 8.1. Эта операция раскручивания есть оператор QA, детально изученный Райдемайстером [1932Ы.)
Если П* альтернированная, то такова же и новая проекция. Операция раскручивания эффективна и уменьшает число пересече-
Рис. 8.1.
ний в проекции. Таким образом, через конечное число шагов мы придем к проекции, удовлетворяющий условию (1). С этого момента мы будем предполагать, что все проекции удовлетворяют условию (1).
Исходя из проекции П некоторого узла, мы можем найти представление для группы G этого узла. Наиболее общепринятым является представление Виртингера. Однако в целях теории малых сокращений необходимо прибегнуть к представлению Дэна группы G, получаемому следующим образом. Пусть F — свободная группа от порождающих X0,..., Хт+1. (Мы намеренно используем для порождающих группы F и областей дополнения к проекции П одни и те же обозначения. Порождающий Xj соответствует пути, начинающемуся в базисной точке, расположенной над плоскостью E проекции П, протыкающему E через Xj, проходящему под E и возвращающемуся в базисную точку через область X0.)
Каждая вершина V1 проекции П определяет соотношение, г і=1 = XaX^"1XcX^1, где Ха, Xb, Хс, Xd — взятые по часовой стрелке четыре области, встречающиеся в вершине vu причем X0 граничит с X6 вдоль линии, проходящей сверху и направленной в сторону вершины V1.
Тогда группой этого узла будет группа G= (X0..... Хя + 1; rlt . ¦ •
• • •i rm, X0 )•
Присутствие определяющего соотношения X0 делает эту группу неудобной для непосредственной работы. На самом деле мы будем заниматься группой Н, которая получается из G вычеркиванием определяющего соотношения X0.
8. Приложения к группе узлов 359
Лемма 8.1. Группа H = (X0, Xm + i; rt, ...,rm> является свободным произведением группы G и бесконечной циклической группы.
? Пусть г) — эндоморфизм группы F, определенный равенствами T)(X0)==! и H(Xj) = Xj, где 1</<т+1. Тогда GsKX1, ...
Хь
X0 Хс
Рис. 8.2.
...» Хт + ъ .....1I(O)-0YCTb а —автоморфизм группы F,
такой, что a(X0) = Х0 и а(Xy) = XyX0 для \ ¦^. j ^m+ \. Из вида определяющих соотношений понятно, что а(г,-) = х\ (г,) для 1 < і < т.
Поскольку а —автоморфизм группы F, H^(X0, X1n+1; а(гЛ), ..., а(гт)>. По замечанию, сделанному Bbiuie,G^<Xj, ...
•••> X*+t, a('i). «(/¦•)>• ?
Из теории свободных произведений следует, что если проблема сопряженности или равенства разрешима в G, то она разрешима в Н, и обратно.
