Комбинаторная теория групп - Линдон Р.
Скачать (прямая ссылка):
Пусть C1 — объединение всех внутренних граничных вершин, ребер, содержащих внутренние граничные вершины, внутренних граничных областей и внутренних брешей. Заменяя слово «внутренний» на слово «внешний», определим множество C2. Тогда В' = =С, U C2. Допустим, что T1 — граница неограниченной компоненты для —Ci, a Oi — граница ограниченной компоненты для —C2. Тогда T1 лежит внутри O1 и о1( T1 — границы для Н. Любая вершина из O1 или T] лежит на границе некоторой граничной области для А. Поскольку в А нет пар, связывающих границы, o1 Dt1 = 0. Так как H содержит всю часть карты А, лежащую между o1 и T1, в H должна быть хотя бы одна область. ?
Займемся теперь решением проблемы сопряженности.
Теорема 7.6. Пусть F — конечно порожденная свободная группа, R — конечное симметрированное непустое подмножество в F и N — нормальная подгруппа группы F, порожденная множеством R-Если R удовлетворяет одному из условий С (6), С (4) и T (4) или C(S) и T (6), то в G=FIN разрешима проблема сопряженности.
? Перед доказательством приведем алгоритм, с помощью которого мы собираемся решать проблему сопряженности в G. Допустим, что имеют место предположения из формулировки теоремы. Пусть Uy1 и wt — элементы из F. Пусть также L — длина самого длинного слова из R. (Мы предполагаем, что L^2.) Определим отношение ~, полагая w1^w2 тогда и только тогда, когда существует b из F> такой, что I6KX/2 и Ow1O-1w21 Q N. Поскольку группа F конечно
7. Проблема сопряженности
ЗВб
порождена и проблема равенства в G разрешима, отношение ~ эффективно.
Допустим, что UHZ циклически приведены. Пусть d=q(\u\-\-\z\) (где q равно 3, 4 или 6 в зависимости от случая). Рассмотрим W= = {до; w?F, \w\^JdL}. Определим отношение ~~, полагая u~~z тогда и только тогда, когда существуют wu ..¦,Wh из W, такие, что
и ~ W1 ~ ... ~ wk ~ г.
Поскольку F конечно порождена, W — конечное множество. Легко видеть, что все w, такие, что w ? W и ы~~ш, могут быть эффективно выписаны. Мы будем доказывать, что и и z сопряжены в G в том и только том случае, когда u~~z. Достаточность этого условия тривиальна.
Допустим, что w Є W и w* — циклическая перестановка слова w. Ясно, что ю~~цу*, поскольку мы можем последовательно сопрягать порождающими группы F до тех пор, пока w не перейдет в w*. Это свойство отношения ~~ будет часто использоваться нами без дальнейших комментариев.
Пусть и и z — циклически приведенные слова, представляющие сопряженные элементы из G. Если и и z сопряжены в свободной группе F, то z — циклическая перестановка слова и и u~~z по сделанному выше замечанию. Предположим поэтому, что и и z не сопряжены в F и /И — диаграмма сопряженности для и и z. Тогда /VI — кольцевая (?, р)-карта, такая, что (q, р)=(3, 6), (4, 4), (б, 3) в зависимости от случая. Так как граничными метками для M являются и и г-1, не может быть более |u| + |z| областей, имеющих ребра на границе дМ. Если D — область из М, такая, что dDr\dM не содержит ребер, имеем і (D)^p. Понятно, что
^M[P-i(D)]^q(\u\ + \z\).
Пусть d=q(\u\ + \z\).
Рассмотрим теперь последовательность карт M=H0, Ні, ... ..., Hh, где Hi получается из H1^1 удалением граничного слоя и брешей карты а Нк — первая из карт, получающихся этим процессом, в которой имеется пара, связывающая границы. Пусть также M=M0, M1, ..., Mk — последовательность карт, в которой Mt получается из M1-^1 удалением граничного слоя. По построению число ?(/Hj) граничных областей в каждой M1 не меньше числа ?(#i) граничных областей в соответствующей Ht. По теореме 7.4 D(Mt)^d, 0<t'<fc. Таким образом, ?(#;)<<i, 0<t<ft.
Если і > 0, то каждое граничное ребро карты H1 является ребром на границе некоторой области из граничного слоя карты Таким образом, если ш —метка на любом граничном слое любого из H1, t' = 0, k, то \ w\*b,dL и w$W.
\2*
11
366 Гл. V. Теория малых сокращений
Пусть а,- —внешняя граница карты H1 и т,- —внутренняя гра. ница этой карты. Обозначим через S,-, і== О, — 1 подкарту
в М, состоящую из о,-, а, + 1 и всей части карты М, лежащей между а,- и aI+1. Определим T1-, Z = O, k— 1, как подкарту в М, состоящую из xh XI+1 и всей части карты М, лежащей между X; и т/+1. (См. рис. 7.2).
По определению карт Sn Z^O1 каждая граничная область О карты Si пересекает как внешнюю, так и внутреннюю границу
Рис. 7.2.
для S1-. Существует простой путь у,- от а,- к а,-+1, такой, что |<р (у) I L/2. Разрезая S1- по пути yt-, мы получаем s,-~s/ + 1, где s; и Sf+1! — соответственно метки внутреннего и внешнего граничного циклов для S,-. Элемент si+1 является меткой на внешнем граничном цикле для Si+1. Аналогично мы видим, что t(~tl+1, где ZT1 и tt+1 — соответственно метки на внутреннем и внешнем граничном циклах для T
В Hk имеется пара (D1, D2), связывающая границы этой карты-В этом случае найдутся вершины U0Go^DdD1, It1^dD1DdD2 и v2?dD2r\xk. Существует простой путь Ji1SoD1 от U0 к V1 с меткой O1, где {bJ^L/2, и простой путь ?2 от V1 к U8 с меткой Zj2, где | Zj2 |<1 2,/2. Пусть ? = ?j?2. Обозначим через s метку на внешнем граничном цикле для Hk, начинающемся в у0, а через Z-1 — метку на внутреннем граничном цикле для М, начинающемся в v2. Разрезая M вдоль ?, получаем, что Sb1CV-1Zj2-1Zj1-1^A/. Поэтому
