Комбинаторная теория групп - Линдон Р.
Скачать (прямая ссылка):
(2) Если D — произвольная область из M He1, . ..,Су — ребра в граничном цикле б для D1 то ср (с,).. .ср (Су) полуприведено и является слабо циклически приведенным элементом, сопряженным G ОДНИМ ИЗ рг
Если р —некоторое сопряженное какого-либо элемента из R, то можно записать р = иги~х, где либо ы=1, либо и имеет нормальную форму U = Z1...zk, г ZR слабо циклически приведено и имеет нормальную форму г = xt.. .хт, a zk не лежит в одном множителе группы F ни с jc1, ни с хт. В этом случае Z1.. .Z11X1... .. .XnZk1-¦ .2f' —нормальная форма элемента р{.
Опишем прежде всего начальную конструкцию диаграммы M для одного P1. Вершины будут делиться на два типа: первичные и вторичные. Метка на каждом ребре карты M будет принадлежать некоторому множителю X; группы F, причем метки на последовательных ребрах, встречающихся в первичных вершинах, будут принадлежать различным множителям Ху. Метки на ребрах, встречающихся во вторичных вершинах, будут принадлежать одному множителю группы F. Назовем два последовательных ребра et, є] с метками из одного и того же множителя сегментом, а каждое из двух ребер, составляющих сегмент, полусегментом.
Для одного P = Z1.. .Z11X1.. .xmZkl.. .гг1 в нормальной форме начальная диаграмма выглядит следующим образом. Если X1 и хт лежат в различных множителях группы F, то начальная диаграмма для р — это петля с вершиной у, соединенной с базовой точкой О некоторым путем. Путь Ov состоит из 2k ребер et, е[, ...,Єк,Єк> где каждое ф(е,^ = г,). Петля в точке v состоит из 2т ребер U11 dl, dm, d'm, причем Ф(d,iif) = ^j- Если X1 и хт лежат
9. Теория малых сокращений над свободными произведениями
369
в одном множителе группы F, то считаем, что в конце пути Ov есть еще одно ребро е и что петля в точке V состоит из ребер Ь, dt, .... d'm_u с, где ф (dtdi) = xt, 2<i<m — 1. Три ребра
е, Ь, с, встречающиеся во вторичной вершине и, помечены так, чтобы выполнялись необходимые (и допустимые) условия ф (eb) = X1, Ф (се~1) = хт и ф (Cb) = X1nX1. Заметим, что на отдельно взятом ребре метка может равняться 1, однако если е и е' — два ребра из одного сегмента, то произведение ф(е)ф(е') отлично от 1. Вершину О считаем первичной вершиной.
Пример. Пусть F = <.a,b; ав>*<с; с^>. Возможные начальные диаграммы для Ь2а2с3Ь_г и ЬгагсгаЬ~г показаны ниже. Первичные вершины помечены звездочкой. (См. рис. 9.1.)
'О
Рис. 9.1.
Заметим, что выбор меток для полусегментов е общей вторичной вершиной произволен. Этот произвол будет использован позже при подгонке меток для ребер.
Начальная диаграмма для последовательности р\,..., рп состоит из начальных диаграмм для каждого pt, расположенных по порядку вокруг базовой точки О. Начальная диаграмма обладает нужными свойствами за исключением, возможно, свойства (1).
При отождествлении частей начальной диаграммы мы всегда будем отождествлять первичные вершины с первичными, а вторичные со вторичными, сохраняя эти различия. В дМ могут быть последовательные сегменты е, е' и /, /', такие, что е' и / разделены первичной вершиной, но метки ф(ее') и ці (ff) лежат в одном и том же множителе группы F. В этом случае мы заменим метку на ребре / на метку ф(е')-1, соответствующим образом подгоняя метки на других ребрах, встречающихся во вторичной вершине, разделяющей / и /'. Отождествим ребра е' и /, имеющие теперь взаимно обратные метки. Если ф(е)=?ф (/')-*» то можно перейти к рассмотрению других
370
Гл. V. Теория малых сокращений
ребер; если ф(е)=ф(/')-1, то можно отождествить и е с если ef образует замкнутую петлю а и ф(а) = 1, то петля а вместе с ее внутренностью может быть вычеркнута из диаграммы М.
Конечное число применений описанного выше процесса дает диаграмму, удовлетворяющую условиям (1) и (2). По окончании процесса можно, как обычно, удалить вершины степени два, объединяя ребра и метки.
Лемма 9.2. Пусть F — свободное произведение и R — симметри-зованное подмножество группы F, удовлетворяющее условию С (\/р), где р~^Ь. Тогда выполняются следующие утверждения:
(1) Если M — приведенная R-диаграмма, то метка на внутреннем ребре является куском. Таким образом, d (D)>p для всех областей D диаграммы М, таких, что dD л дМ не содержит ребра.
(2) Диаграмма минимальной R-последовательности является приведенной.
? Доказательство утверждения (1) в точности совпадает с рассуждением из леммы 2.2. В то же время для доказательства утверждения (2) требуется немного порассуждать дополнительно. В свободной группе никакой элемент не может быть сопряжен со своим обратным. Таким образом, при построении диаграмм над свободными группами не может случиться так, что при отождествлении двух ребер одной области диаграмма перестает быть приведенной. Для свободных произведений эта возможность должна быть рассмотрена.
В точности так же, как в лемме 2.1, можно доказать, что в диаграмме минимальной /^-последовательности не может быть различных областей, делающих диаграмму неприведенной. Если при построении карты M в какой-либо области объединяются два ребра одной и той же области, то пусть D — первая область, в которой производится такого рода отождествление.
