Комбинаторная теория групп - Линдон Р.
Скачать (прямая ссылка):
Если Wy не равно тождественно 1, то оно должно содержать подслово, которое >7/10JR.
Заметим, что каждый элемент из R имеет длину, большую 1000. С другой стороны, из вида элементов множества R следует, что никакой элемент из R не содержит подслов вида ztz'1, где UI = I и гфі. Поэтому должно быть все-таки ц=1 и Mp (у) ?С7. Аналогичное рассуждение дает ty(x) ? C6.
Имеем Tp(X)=X6 иур(у)=уу, причем ни один из этих элементов не равен 1. Вычислим
ф (г„) = (х V) *У7 • • • (* V)80 X Уv-
Поскольку яр переводит соотношения в соотношения, г|) (г0) $ Ar7. Выписанное слово имеет нормальную форму в F.
Таким образом, ty(r0) должно содержать более 7/10 некоторого элемента из R. Понятно, что это невозможно, если не имеют место сравнения 6=±l(mod5) и Y= ±1 (mod 7). Утверждается, что г|э не может переводить X и у в обратные к ним элементы. Заметим, что блоки вида [(х~1у~1Ух~1у~1], присутствующие в T0"1, встречаются в порядке убывания / (если читать слева направо). Даже если 6= =7=-1, блоки такого вида в i|> (г„) будут встречаться в порядке возрастания степени /. Таким образом, ty(x)=x,ty(y)=y и исходный эпиморфизм — внутренний автоморфизм.
380
Гл. V. Теория малых сокращений
Чтобы убедиться в тривиальности центра для G1 рассмотрим WXW1X'1, где w не содержит более половины элемента из R. Если это нетривиальное слово, принадлежащее N, оно содержит 7/10 некоторого элемента из R, что невозможно; таким образом, WXW-1X'1 = — 1 в F. Отсюда w=x6 или 1. Таким образом, любой элемент центра группы G является степенью элемента х. Понятно, однако, что X6 не лежит в центре для G, так как хух'1у-1ф\ в G. Зтим закончено доказательство хопфовости и совершенности группы G.
Докажем теперь, что если H не имеет элементов порядка 5, то G кохопфова. (В общем случае, если в H нет элементов порядка р, доказательство может быть проведено с использованием свободного произведения Н*Ср*Сд, где q — простое число, большее р.) Пусть Э: G->-G — некоторый мономорфизм. Поскольку 0 (х) должен иметь порядок 5, он лежит в сопряженном группы C5. Дополняя 9 внутренним автоморфизмом, можем считать, что Q(x)=x6. Поскольку 9 (у) должно лежать в подгруппе, сопряженной с группой H или группой C7, Э (Jj)=UVW1, где V Q H или v Q C7. Можно предполагать, что и как элемент группы F имеет те же свойства (і), (іі), (iii), что были отмечены ранее.
Справедливо соотношение
Q(T^ = X0UVU-1X6UV2U'1.. .Uv2W1QN.
Выписанное слово имеет нормальную форму и не равно 1 в F. Таким образом, 0 (г0) должно содержать по меньшей мере 7/10 некоторого элемента mR. Как и прежде, это возможно лишь в том случае, когда 9 — тождественное отображение. ?
Универсальная конечно представленная группа Хигмана H (теорема IV.7.3) строго содержит экземпляр каждой рекурсивно представленной группы. Никакая рекурсивно представленная группа С, в которую_ вкладывается Н, не может быть кохопфовой, так как С изоморфна собственной подгруппе группы Н. В то же время конструкция теоремы, примененная к группе Хигмана, дает конечно представленную совершенную хопфову группу, содержащую экземпляр любой рекурсивно представленной группы. В общем случае применение этой конструкции к произвольной конечно представленной группе с неразрешимой проблемой равенства слов дает конечно представленную совершенную хопфову группу с неразрешимой проблемой равенства слов.
11. Теория малых сокращений над свободными произведениями с объединенной подгруппой и HNN-расширениями
В этом разделе мы изучим теорию малых сокращений над свободными произведениями с объединенной подгруппой и HNN-расширениями. Условия сокращения будут естественными обобщения-
11. Теория малых сокращений над HNN-расширениями
381
ми обычных условий такого рода для свободных групп и свободных произведений. Следуя работе Шуппа [1971], начнем со свободных произведений с объединенной подгруппой. Будем использовать следующую терминологию. Пусть Хь. .., Хт — группы с собственными подгруппами Л;=Хг. Пусть A=A1 и Tpf: Л->-Л,- — изоморфизмы, j=2,..., т. Запись F= (*Хг; A=^1(Ai)) обозначает свободное произведение групп X1, в котором подгруппы A1 склеены
ОТОбражеНИЯМИ
При рассмотрении нормальных форм для элементов группы F принято выбирать системы представителей смежных классов для каждой A1 в X;. Мы намеренно не будем выбирать представителей в смежных классах. Поскольку слово «приведенный» используется нами в нескольких смыслах, мы отступим от обычного использования термина «нормальная форма». Начиная с этого места, нормальной формой неединичного элемента w ? F мы будем называть последовательность If1. .. уп, в которой каждое у і — элемент некоторого множителя группы F, последовательные </,• идут из различных множителей и никакое Уі не лежит в объединяемой части, если только пф\. При таком определении элемент может иметь много нормальных форм. В то же время число п, длина элемента w, постоянно на множестве всех нормальных форм для w.
Слово w=y1 . ¦ ¦ уп в нормальной форме называется циклически приведенным, если /г^іили если уп и ух лежат в различных множителях группы F. Скажем, что w слабо циклически приведено, если или п<Л, или произведение упуі не лежит в А.
