Комбинаторная теория групп - Линдон Р.
Скачать (прямая ссылка):
Основная идея в доказательстве принадлежит Липшуцу [1962].
Лемма 10.2. Пусть F — свободная группа или свободное призве-дение. Предположим, что R — симметризованное подмножество в F, не содержащее элементов длины 1. Если г QR, г=хта в полуприведенной форме, т>1, и г не является собственной степенью в F, то х и хт~х — куски.
О Запишем г=хт~1(ха) и г*=хт~1(ах). Тогда х""1 (и значит, х) по определению является куском, если только не имеет места ха=ах. Допустим, что ха=ах. Поскольку г циклически приведено и его длина не равна 1, элементы х и а не могут лежать в одном и том же сопряженном некоторого множителя группы F. Поэтому из ха=ах следует, что х и а — степени одного и того же элемента. Следовательно, г — собственная степень в F. ?
? Займемся доказательством теоремы 10.1. Пусть ш — произвольный элемент из F. Рассмотрим множество С всех элементов из F, сопряженных сщво. Понятно, что все элементы из С имеют тот же порядок в G, что и w. Пусть z — элемент наименьшей длины в С. Если |г| = 1, то все в порядке. Действительно, поскольку множители группы F вложены в G естественным отображением, zn= \ в G тогда и только тогда, когда z"=\ в F. Заметим, что в силу минимальности его длины элемент z циклически Р-приведен. Допустим, что |*|>1, z" Q N для некоторого п>\. Если z" Q R, то все в порядке.
По теореме 9.3 можно записать zn=zxuz2 в приведенной форме, где некоторое циклически приведенное гQR имеет приведенный вид •r=uv и |и|>(5/8)И. Имеем UZ2Z1=(Z*)", где г* — некоторая циклическая перестановка элемента с г.
Нам нужно сделать какие-то выводы относительно (ж*)я. Для простоты обозначения отбросим «звездочку» и запишем г"= =u/3 в приведенной форме. Элемент и не может быть ПОДСЛОВОМ В Z, так как z является циклически ^-приведенным. Следовательно, u*=zmt в приведенной форме, где ttC^l и t не начинается степенью
376
Гл. V. Теория малых сокращений
элемента 2. Запишем z=ts в приведенной форме. (Возможно, Z=I.) Имеем T=Uv= (ts)mtv в полуприведенной форме.
Рассмотрим вначале случай, когда т>1. Тогда (ts)m~l, (ts) и t по лемме все являются кусками, если исключить тот случай, когда Zs и Z — степени одного и того же элемента. Если имеет место последняя возможность, то z и г — степени одного и того же общего элемента в F, и все в порядке. Если все (Zs)*"-1, ts и t — куски, то u=(ts)mt— произведение трех кусков, так что его длина должна
быть меньше (3/8)|г|. Однако l«l>-g kl. Следовательно, случай т>\
невозможен, если только z и г не являются степенями одного и того же элемента, причем г — собственная степень.
Предположим теперь, что т=1. Тогда r=tstv. Если tstv=tvts в F, то ts и tv коммутируют, откуда снова гиг — степени одного и
того же элемента. Если ts^tv, то t — кусок и Ul<-g- kl. В группе G выполняется Z=Zs= (tv)~l. Однако из |«| = |ZsZ|>-g-И получаем
1 3 4
|to|<kl + M<-g- kl+ -g- kl= g- |r|. Это противоречит выбору z как элемента минимальной длины и завершает доказательство. ?
Теорема о кручении может быть распространена и на случай, когда R удовлетворяет условию С (1/6), однако тогда доказательство несколько усложняется. При условии С" (1/6) для случая свободной группы F теорема о кручении была доказана Гриндлингером [1960], а для случая свободного произведения F — Маккулом [1969].
Упомянем некоторые другие исследования алгебраических свойств групп с малым сокращением. Пусть F — свободная группа. Гриндлингер [1962, 1966] показал сначала для R, удовлетворяющего условию С (1/8), а затем для R, удовлетворяющего условию С'(1/6), что если-два элемента в G=FIN коммутируют, то они являются степенями одного и того же элемента. Трюффо [1974] и Симур [1974] независимо усилили это утверждение, показав, что централизаторы нетривиальных элементов цикличны.
Пусть F — свободная группа или свободное произведение, a R удовлетворяет С"(1/6) или С"(1/4) и 7(4). Допустим далее, что R не содержит четных степеней и удовлетворяет условию /. КамерфорД [1974] дает геометрическое доказательство того, что при этих условиях никакой нетривиальный элемент из G не сопряжен с обратным к нему. В случае когда F свободна, a R удовлетворяет условию С (1/8), этот результат был получен ранее Гауди [1971]. Используя то же самое предположение, Липшуц [1971] показал, что если а — нетривиальный элемент из G и |т|=?|л|, то ат и ап не сопряжены в G.
Хорошо известна теорема Хигмана — Нейман — Неймана I1949J, согласно которой счетная группа может быть вложена в
10. Произведения с малым сокращением
377
группу с двумя порождающими. Иллюстрируя полезность произведений с малым сокращением, мы покажем, что эту теорему можно усилить. Идея о возможности использования теории малых сокращений в доказательстве теорем вложения восходит к Бриттону и к Левину [1968].
Счетная группа К называется SQ-универсальной, если каждая счетная группа может быть вложена в некоторую факторгруппу группы К.
Теорема 10.3. Пусть P произвольное нетривиальное свободное произведение P=X*Y, не являющееся свободным произведением двух изоморфных экземпляров циклической группы второго порядка C2. Тогда P является SQ-универсальным.
