Комбинаторная теория групп - Линдон Р.
Скачать (прямая ссылка):
Предположим, что UHV — элементы из F, имеющие нормальные формы и=ух ...«/„ и V=X1... хт. Если упХі лежит в объединяемой части А, то говорят, что в произведении w=uv имеет место сокращение. Если уп и Xi лежат в одном и том же множителе, НО ynXi^A, то говорят, что уп и Xi слились при переходе к нормальной форме элемента uv. Говорят, что слово w имеет полуприведенную форму Ui.. .uh, если в произведении Ui.. .uk нет сокращений. Слияния вполне допустимы.
Подмножество R группы F называется симметрированным, если из г ? R следует, что г слабо циклически приведено и каждое слабо циклически приведенное сопряженное элемента r±l также лежит в R. Слово Ь называется куском (относительно R), если существуют различные элементы ги гг из R, такие, что Гі=Ьсі и r2=bca в полуприведенной форме.
, - Для положительного действительного числа X определим
Условие С (К): Если /¦ ? R имеет полуприведенную форму г = be, где Ь — кусок, то |b|<Ji|r|. Далее, |г|>1Д для всех г QR.
Условие С (К) является достаточно сильным в случае свободных произведений с объединенной подгруппой, поскольку при опреде-
382
Г л. V. Теория малых сокращений
лении кусков следует использовать все нормальные формы элементов из R. Таким образом, многое зависит от объединяемой части.
Для иллюстрации сказанного рассмотрим следующий пример. Пусть F = «х> * <у>; х2 = у2) — свободное произведение двух бесконечных циклических групп, в котором объединены квадраты порождающих. Пусть « — натуральное число п>3и R — наименьшее симметризованное множество, содержащее (ху)п. Поскольку R симметризовано, (yx)~n?R. Имеем (ху)"ф(ух)~п в F, но, полагая с = X2 = у2 (этот элемент лежит в центре для F), получаем
(ух)-" = (X-1W"1)" = (х-1Cy-1C-1)" = (хус~2)п = = (ху)п с~2п = (ху)"-1 ху-*"-».
Таким образом, (х</)л-1х — кусок относительно R и условие С (к), к^. 1/2, никоим образом не выполняется.
Займемся теперь построением диаграмм над свободными произведениями с объединенной подгруппой. Построение, в сущности, то же самое, что и в случае обычных свободных произведений.
Пусть F=(*Xt; A=^1(A1)) — свободное произведение групп Хи в котором объединены подгруппы A1. Пусть R — симметризованное подмножество из F, удовлетворяющее условию С (1/6). С каждой последовательностьюри. ¦ -, Pn элементов, сопряженных с
элементами из R, мы свяжем некоторую диаграмму M (рх..... рп),
являющуюся связной односвязной ориентированной планарной картой с выделенной точкой 0?дМ. Карта M помечена функцией ф со значениями в F, удовлетворяющей условиям:
(1) Существует граничный цикл S1.. .st карты М, начинающийся в О, такой, что (f (S1).. .(р (st)—полуприведенная форма для W= =Pi. • ¦Pn-
(2) Если D — произвольная область карты M и еь..., в) — ребра из граничного цикла б области D, то ф (^1).. .ф (е}) — полуприведенное произведение, являющееся слабо циклически приведенным элементом, сопряженным с некоторым элементом Pi.
Допустим на некоторое время, что диаграмма, удовлетворяющая условиям (1) и (2), существует. Как обычно, можно предполагать, что в M нет вершин степени два. Тогда точно так же, как в доказательстве леммы 9.2 для диаграмм над свободными произведениями, имеем:
(i) Если M — приведенная диаграмма, то метка на внутреннем ребре карты M является куском. Таким образом, если R удовлетворяет условию С (1/6), a M — приведенная R-диаграмма, то M есть (3, 6)-карта.
(ii) Диаграмма минимальной последовательности приведена. Эти наблюдения понадобятся нам при доказательстве следующей
теоремы.
11. Теория малых сокращений над HNN-расширениями
383
Теорема ПЛ. Пусть R —симметризованное подмножество в F, удовлетворяющее условию С (1/6). Для каждой последовательности Pu . ¦., рп элементов, сопряженных с элементами U3R, существует диаграмма, удовлетворяющая условиям (1) и (2).
? Сопряженное pi элемента из R может быть записано в виде pt = =ulriui1, где либо Uj = I, либо Ui имеет нормальную форму Uj = =Zi. . .zh, rt ? R слабо циклически приведено и имеет нормальную форму rt=Xi.. .хт и zh не лежит в том же множителе группы F, что и X1 или хт. Тогда Z1. . .ZnX1.. .X7nZk1. ¦ ¦Z11 — нормальная форма для Pi при нашем расширенном определении нормальной формы.
Вспомним начальную конструкцию диаграммы над свободным произведением. Для каждого рг начальные диаграммы строятся точно таким образом. После этого начальная конструкция для последовательности P1, . .. ,рп будет состоять из начальных конструкций для pt, расположенных по порядку вокруг базовой точки О. Начальная диаграмма обладает всеми нужными свойствами, возможно за исключением свойства (1). Произведение меток на ребрах карты M не обязано быть приведенным.
Далее построение производится следующим образом. В M могут быть последовательные сегменты е, е' и /, /', такие, что е' и / разделены первичной вершиной V, но метки ц>(ее') и <р(/7') лежат в одном и том же множителе группы F. Если это так, заменим метку на ребре / на ф(е')-1, подгоняя метки на других ребрах во вторичной вершине, разделяющей / и f. Отождествим е' и /, метки которых теперь взаимно обратны.
