Комбинаторная теория групп - Линдон Р.
Скачать (прямая ссылка):
Теорема 8.5. Проблема сопряженности в группе G альтернированного узла К алгоритмически разрешима. ?
9. Теория малых сокращений над свободными произведениями
В этом разделе мы разовьем теорию малых сокращений над свободными произведениями. Основой изложения служит работа Линдона [1966]. Если F — свободное произведение нетривиальных групп Xj, то каждый неединичный элемент w из F единственным образом представим в нормальной форме как w=yx.. .уп, где каждая из букв Уі является нетривиальным элементом одной из групп Xj, причем соседние Уі, уі+1 принадлежат разным свободным множителям. Число п — длина элемента w, в обозначениях \w\.
Если U = Ij1.. .ykcl.. .ct и V = Cf1.. .Ci1U1.. .ds в нормальной форме, где йгФукХ, то говорят, что буквы C1, ..., ct сократились в произведении uv. Если yk и Cf1 лежат в различных множителях группы F, то W = UV имеет нормальную форму ^1. .:ykdl. . .ds. Возможно, что dj и yk лежат в одном множителе группы F, но d-іФУк1 ¦ Положим a = ykd1. Тогда w = uv имеет нормальную форму Уі¦ ¦ -Ук-їа^2-• •df Будем говорить, что буквы yk и dj слились и дали букву а в нормальной форме произведения uv.
Скажем, что слово w имеет приведенную форму uv, если нормальная форма для uv получается сцеплением нормальных форм для и и v. Таким образом, в этом случае между и, v нет ни сокращений, ни слияний. Скажем, что w имеет полуприведенную форму uv, если w=uv и между uuv нет сокращений. Слияния вполне возможны.
Напомним, что элемент w из F с нормальной формой w=yx.. ¦ .. .уп называется циклически приведенным, если |до|^1 или и уп лежат в разных множителях группы F. Скажем, что w слабо циклически приведено, если |до|^1 или Упфуг1. Таким образом, между уп и уі не может быть сокращения, но слияние допустимо.
Подмножество R группы F называется симметризованным, если каждое г ? R является слабо циклически приведенным и каждое
Р. Теория малых сокращений над свободными произведениями 367
слабо циклически приведенное сопряженное элементов гиг-1 также лежит в R.
Слово Ъ называется куском, если R содержит различные элементы г\ и г2 с полуприведенными формами T1=Oc1 и гг=Ьс2. Заметим, что последняя буква слова Ь не обязана быть буквой из нормальных форм для гх и гг.
Условие С (к): Если г Q R, r=bc в полуприведенной форме, где b— кусок, то \b\<Lk\r\. Чтобы отбросить патологические случаи, будем в дальнейшем предполагать, что если г QR, то \г\>\1к.
Для случая свободных произведений не представляет труда сформулировать аналоги условий С(р) и T {а), но мы не будем делать этого в явной форме. Мы будем работать только с метрическим условием С (к), где Я.^1/6. Для иллюстрации этой гипотезы, а также чтобы показать важность данной теории в случае свободных произведений, отметим, что условию С (1/6) удовлетворяет «большая часть» фуксовых групп 4
G = (O1, bx.....ag, bg, хх, ...,хп, fi, ...,/%; xj"- = 1, •.., 1,
g
fx...fkxx...xn ]J[a„ ft,]=1)-
і=і
Рассмотрим G как факторгруппу свободного произведения F =»
= (a,, ...,bg,xx.....хт, fx, fk; хТ', ¦¦¦, xmJ) по нормальному
g
замыканию элемента fx...fkxx...xm Ц [а,-, &,].
і *= 1
Поскольку в определении куска г( обязано быть лишь слабо циклически приведенным и так как разложения T1 = Ьс{ полуприведенные, предположение С (>\) сильнее, чем это кажется. Допустим, что O = X1.. .хп — нормальная форма для b и что
r1 = (xl...xn)(y1...yt)
и r2 = (х,... Xn) (Z1... zs) — полу приведенные разложения, делающие b куском. Предположим, что t/, лежит в том же самом множителе, что и хп. Если Z1 = W1, то хх.. .(хпу) снова является куском. Однако если гхФух, то (X1.. .(XnIz1))(y1lz1.. .zs) — полуприведенное разложение для г2 и X1.. .(XnZy1) — кусок. Если yt лежит в том
ЖЄ СаМОМ МНОЖИТеле, что И X1, TO г\ = ((Z/fX,). . .Xn) (W1 . . -Уі-і)
. -и r'2=((y,xx).. .Xn)(Zx.. .Z^t1) — полуприведенные разложения для некоторых элементов из R и г, циклически приведен. Из этих рассмотрений вытекает
Лемма 9.1. Предположим, что R удовлетворяет условию С (к) и допустим, что элемент г QR имеет полуприведенное разложение г=* —bi.. .bjC, где bi,..., bj — куски. Если с'— максимальное подслово
368
Гл. V. Теория малых сокращений
в с, состоящее из букв слова с, последовательно встречающихся в нор. мальной форме циклически приведенного элемента г', сопряженного с г, то Ic'|>(l-A)|r'|. ?
Эта лемма позволит нам делать в случае свободных произведений выводы относительно длин, подобные тем, которые мы делали в слу. чае свободных групп.
Перейдем к построению диаграмм над свободными произведениями. Пусть F=*Xt — свободное произведение групп Xt и R — симметризованное подмножество в F. С каждой последовательностью Pi,..., рп элементов, сопряженных с элементами из R, мы свяжем диаграмму М(ри..., рп), которая будет связной односвязной ориентированной планарной картой с выделенной вершиной О Z дМ. Карта M будет помечена функцией ср со значениями в F, удовлетворяющей следующим условиям:
(1) Существует граничный цикл S1...S1 карты М, начинающийся в точке О, такой, что cp(st).. .<p(st) — полуприведенная форма элемента w = P1.. .рп.
