Комбинаторная теория групп - Линдон Р.
Скачать (прямая ссылка):
? Поскольку случай С2*С2 нами исключен, в одной из групп, скажем X, можно выбрать два неединичных элемента ххфхг, а в другой, Y,— неединичный элемент у. Пусть H — произвольная счетная группа с представлением H= (hi,.,.; S). Пусть F=H*X*Y. Положим
г і = A1 (хху) х2у (xxyf Хъу (xxyf хгу... (ххуУ° хгу
и для произвольного і
г і = hi (хіуг х2у.. .(хіуг' xty.
Пусть R — симметризованное множество, порожденное элементами Ti. Нетрудно убедиться в том, что R удовлетворяет условию сокращения С (1/10). Это следует из того факта, что никакой кусок не может содержать подслова вида
(X1Jf (ХіУ)к хгу (хху)к + 1 хгу) ± К
Обозначим через N нормальное замыкание для RbF. Тогда G=FIN — произведение с малым сокращением, содержащее в себе, таким образом, все множители, в частности Н.
Понятно, что G порождается образами групп X и Y1 так как в ней каждое г і равно 1 и, значит, каждое H1 равно слову от Jt1, Jc2 и у. Более того, поскольку каждое rt содержит в точности одно hu соотношения из R могут быть устранены преобразованиями Тице, переписывающими соотношения S в терминах элементов Xi, X1 и у. Значит, на самом деле G является факторгруппой группы X*Y и эта факторгруппа содержит Н. D
' Оказывается, что некоторые произведения с малым сокращением имеют ограниченное число эндоморфизмов. Нам нужно напомнить некоторые определения. Группа К называется хопфовой, если каждый эндоморфизм группы К на себя является автоморфизмом. Двойственным образом К называется кохопфовой, если всякий взаимно однозначный эндоморфизм этой группы является гомоморфизмом
378
Гл. V. Теория малых сокращений
«на». К называется совершенной, если все ее автоморфизмы внутренние, а центр тривиален.
Пусть F=H*Cm*C„, где H — произвольная счетная группа a C1n и Cn — циклические группы порядков т^2> и гС^2. Миллер и Шупп [1971] исследовали эндоморфизмы группы G=FIN, где N — нормальное замыкание множества R, подобного введенному в доказательстве теоремы 10.3. Они доказали, что G всегда совершенна и хопфова. Кроме того, если H не имеет элементов порядка т или не имеет элементов порядка п, то G кохопфова. В частности, верна
Теорема 10.4. Любая счетная группа H может быть вложена в 2-порожденную совершенную хопфову группу G. Если H конечно представлена, то такова же и G. Если в H нет элементов некоторого конечного порядка р, G может быть выбрана кохопфовой.
? Пусть H= (hi,...; S} — произвольная счетная группа. Положим F=H*Cft*C1 и рассмотрим порождающие х, у групп C5 и С, соответственно. Введем
r0 = ху хуг (xyf хуг... (хуУ° хуа-и для любого i=l,2, ...
80 (1 + 2)
г , = АГ1 II ({хуУху*).
1 = 80( + 1
Симметризованное множество R, порожденное элементами rt (i^ ^0), удовлетворяет условию С (1/10). Пусть G=FlN, где N — нормальное замыкание множества RbF. Как и в теореме 10.3, G является факторгруппой группы С6*С, и может быть конечно представлена, если такова Н. Далее, Н, C6, C7 вложены в G.
Покажем теперь, что группа G совершенна и хопфова. Пусть ty: G->-G — эпиморфизм. Отображение^ определено своими значениями на X и у, а ty(x) и ty(y) должны порождать группу G. Поскольку R не содержит собственных степеней элементов из F и удовлетворяет условию С (1/10), любой элемент конечного порядка группы Я должен лежать в некотором сопряженном некоторого множителя группы F по теореме 10.1.
Таким образом, г|з(дс) и ty(y) лежат в сопряженных множителей группы F. Заметим, что ни ty(x), ни ty(y) не могут равняться 1, так как в противном случае G была бы циклической группой порядка, делящего 5 или 7. Однако в G содержатся и C6, и C1. Значит, г|> (х) и г|з(«/) имеют порядки 5 и 7 соответственно.
Наш план состоит в доказательстве того, что я|) отличается от тождественного отображения внутренним автоморфизмом. Это ДР' кажет, что G хопфова и что все ее автоморфизмы внутренние. Для упрощения обозначений буква г|) будет сохраняться даже в случае!
10. Произведения с малым сокращением
379
когда ф заменяется на его произведение с некоторым внутренним автоморфизмом группы G.
Поскольку ty(x) лежит в подгруппе, сопряженной с группой H или C5, домножая г|э на внутренний автоморфизм, будем считать, что либо г|з (х) G Н, либо г|э (х) g C6, а также что ^ Iy)=UVW1, где v ? H или у ^ C7. Более того, можно предполагать, что и как элемент группы F обладает следующими свойствами: (і) и не содержит более половины элемента из R; (H) и не оканчивается на букву, лежащую в том же множителе, что и у, и (iii) и не начинается на букву, лежащую в том же самом множителе группы F, что и ty(x).
Чтобы убедиться в возможности допущения (iii) заметим, что в противном случае можно было бы дополнить і|> внутренним автоморфизмом, уменьшающим длину элемента и и оставляющим ty(x) в том же множителе.
Покажем сначала, что u=I в F. Поскольку ty(x) и г|)(г/) порождают G, элементы X и у отличаются в F от слов в алфавите ty(x), ty(y) элементами из N. Рассмотрим некоторое слово
Wy = y-1^{x)mmvm'U-1^(x)m>.. .uvmku-1?N.
По предположениям относительно и слово Wy имеет нормальный вид, за возможным исключением сокращения длины 1 в начале (тх может равняться нулю). Поскольку г|5(х) <jt C7, Wv не равняется 1 в F при условии иФ\ или ^ (*/)(? C7.
