Комбинаторная теория групп - Линдон Р.
Скачать (прямая ссылка):
352
Гл. V. Теория малых сокращений
которое содержит граничную вершину карты М. Пусть е— вну реннее ребро карты М, содержащее граничную вершину v из д (рис. 7.1(a)). Ребро е пересекается некоторым ребром е* карты в точке P (не являющейся вершиной.) Часть дуги е от P к v уход
Рис. 7.1.
в —М, т. е. и в —М*. Поскольку е не может пересекаться никаки другим ребром карты /И*, е* — граничное ребро для М*.
Пусть е — некоторое ребро из М, обе концевые ТОЧКИ KOTOpO-являются внутренними вершинами для M (рис. 7.1(b)). Ребро пересекается ребром е* из М*. Последовательность ребер, отличны от е, которая соединяет вершины, получающиеся из областей карты М, на границе которых лежит с, или с2, окружает е* со вс_ сторон, так что е* —внутренняя вершина карты М*. ?
Следствие 7.3. Если M — некоторая карта, М*—дуальн к ней карта, a M1 и М\ получаются удалением граничных слоев M и М* соответственно, то М\ — карта, дуальная к карте M1.
Если M — некоторая карта, то положим о' (M)=^mIp—i(D и определим ?(M) как число областей в граничном слое для
Теорема 7.4. (Теорема о слое.) Пусть M — некоторая (q, р карта, такая, что каждая ее компонента — это односвязная кольцевая карта. Рассмотрим последовательность карт M=M Mi, . .., Mh, где Mt получается удалением граничного слоя из Mt_ а граничный слой для Mh совпадает с Mh. Тогда
(7.2)
• a' (M) > max {? (M,); і = 0, ..., k\.
? Допустим, что К — произвольная [р, <7]-карта, каждая компо нента которой односвязная или кольцевая. Утверждается, чт если Ki — подкарта карты К, получающаяся из К удалением гра ничного слоя, то
(7.3)
7. Проблема сопряженности
353
Чтобы убедиться в этом, достаточно взглянуть на доказательство теоремы о площади. В части от начала доказательства до шага (14) односвязность карты не была использована. Фактически там было доказано, что для произвольной [р, <?]-карты, обладающей внутренней вершиной,
о (К) ~ a (K1) > 2 2* [PIq + 2 - а (о)].
В настоящем доказательстве последняя сумма неотрицательна по лемме 7.1. Поэтому о (К) > о (K1).
Пусть теперь Af0.....Mk — карты из формулировки теоремы.
Пусть M* — карта, дуальная к карте М. Рассмотрим последовательность M* = Ml, M*, ..., M*k карт, такую, что AfJ+1 получается из M*i удалением граничного слоя.
По следствию 7.3 каждая M] дуальна к карте M1. По первой части доказательства a (M*) > о (Af*) ... ^ a (Af*.). Поскольку Mi дуальна к карте Af,, имеем о (AfJ) = о' (M1). В силу дуальности $(M{) = V'M*. По лемме 6.1 имеем V'M*^(q/p)o (M)). Это
доказывает теорему. ?
В соответствии с только что доказанным результатом нашей основной стратегией при решении проблемы сопряженности будет последовательное удаление граничных слоев из диаграмм сопряженности с целью получения новых диаграмм сопряженности. Теорема 7.4 будет использована нами для ограничения длин меток на границах новых диаграмм сопряженности. Определенную осторожность следует проявлять в связи с тем, что удаление граничного слоя из кольцевой карты ведет, вообще говоря, к карте, которая не обязана быть кольцевой.
Пусть А — некоторая кольцевая карта и В — граничный слой для А. Карта C=A—В может состоять из нескольких компонент. Однако, самое большее, одна из этих компонент является кольцевой. Любую односвязную компоненту карты С мы будем называть брешью в В. Таким образом, брешь — это связная односвязная подкарта в А, которая не содержит ни одной граничной области, но со всех сторон окружена граничными областями.
Пусть K1, . .., Kn- бреши вой В'=В U K1 U • . • U Kn. Тогда H=A—В' —это кольцевая компонента карты А—В, если вообще кольцевая компонента имеется. В противном случае H пусто. Будем говорить, что H получается из А удалением граничного слоя и брешей. Сформулируем одно достаточное условие того, что H кольцевая диаграмма.
Пусть А — произвольная кольцевая карта, а о и т —соответственно ее внешняя и внутренняя границы. Пара (D1, D2) областей из А (не обязательно разных) называется парой, связывающей границы, если оDdD1^0, OD,ЛOD2^=0 и д?>гГ)%Ф0.
12 №> 968
354_Гл. V, Теория малых сокращений__
Лемма 7.5. Пусть А — кольцевая карта, обладающая по меньшей, мере одной областью. Допустим, что H получается из А удалением граничного слоя и брешей в нем. Если не существует пар, связыва-ющих границы в А, то H — кольцевая карта, обладающая по меньшей мере одной областью.
? JIyCTb о и т — соответственно внешняя и внутренняя границу карты А. Если D — область из Л, такая, что диГ\аФ0, то D на-зывается внешней граничной областью карты А. Аналогично определяется внутренняя граничная область. Подобным же образом будет проводиться различие между внутренними и внешними граничными вершинами и ребрами. Ни одна из областей D карты Л не может быть одновременно внешней и внутренней, поскольку в этом случае пара (D, D) связывала бы границы в А.
Если К — брешь, она окружена граничными областями D1. Поскольку пары, связывающие границы в А, отсутствуют, последовательные Di либо обе внутренние, либо обе внешние. Таким образом, К окружена целиком внешними или целиком внутренними граничными областями. В соответствии с этими двумя возможностями К будет называться внешней или внутренней брешью.
