Комбинаторная теория групп - Линдон Р.
Скачать (прямая ссылка):
Используя теорему 11.2, можно доказать, что многие свободные произведения с объединенной подгруппой являются SQ-универ-сальными.
Пусть А — подгруппа группы Н. Рассмотрим пару различных элементов {хи X2) из Н, причем ни один из них не лежит в А. Скажем, что {xi, X2) — блокирующая пара для А в Н, если выполнено следующее условие:
(1) Для любого а ? А, аф\, имеем xEtaxf^A, 1^л, /<2, е=±1, б=±1. Заметим, что из (1) следует либо xfxf = l, либо xfxf$A, /<2, е=±1, б=±1.
Нами будет доказана
IS № 653
.' і Jl
386
Гл. V. Теория малых сокращений
Теорема 11.3. Пусть Р=(Н*К, A=B)— свободное произведение, в котором объединены подгруппы AuB групп H и К. Если для AeH имеется блокирующая пара, то группа P является SQ-универсальной.
Существование блокирующих пар в группах с большой степенью «свободности» не является неразумным условием. Рассмотрим для примера следующую ситуацию. Пусть А — подгруппа группы Я. Допустим, что в H имеется подгруппа В, обладающая нетривиальным разложением в свободное произведение В=ВХ*В2, причем s?C?i. Тогда любая пара различных неединичных элементов из B2 является блокирующей парой для А в Н.
М. Холл [1949; см. 1.3.7] показал, что если H — свободная группа, a А — конечно порожденная подгруппа из Н, то существует подгруппа В конечного индекса в Н, для которой А является свободным множителем. Если А имеет бесконечный индекс в Н, то В разлагается в свободное произведение В=А*В2, где B2 — нетривиальная свободная группа. Согласно замечанию из предыдущего абзаца, для А в H имеется блокирующая пара. Поэтому справедливо такое
Следствие 11.4. Пусть H — свободная группа и А — ее конечно порожденная подгруппа бесконечного индекса. Допустим, что К — произвольная группа, в которой в качестве собственной подгруппы содержится изоморфный экземпляр А' группы А. Тогда свободное произведение с объединенной подгруппой Р=(Н*К; A=A') является SQ-универсальным. ?
? Перейдем к доказательству теоремы 11.3. Пусть Р=(Н*К; A=B) — свободное произведение с объединенной подгруппой, такое, что А и В — собственные подгруппы в H и К соответственно, причем для А в Я-существует блокирующая пара {хх, X2}. Идея доказательства — имитация доказательства аналогичного свойства обычных свободных произведений. Допустим, что С — произвольная счетная группа, C= (сх, ... ; S), где S — множество определяющих соотношений между порождающими Ci. Пусть А' — изоморфный экземпляр группы А. Построим C=C*А' — обычное свободное произведение групп С и А'. Затем введем группу F=(C'* *Н*К; A'=A = В). Пусть у Є К—В, Определим
Tx = схххух2у (хху)2 х2у... (хху)во х2у
и, вообще, положим
г,- = C1 (хху)*о "'-»+1 х2у... (ХіуУ°' х2у.
Пусть, наконец, R — симметризованное множество, порожденное элементами
И. Теория малых сокращений над HNN-расширениями
387
Рассмотрим два строго циклически приведенных элемента г, г' из R. По теореме IV.2.8 элементы г и г' сопряжены с помощью элементов из объединенной части А с циклическими перестановками элементов rf1, выписанных выше. Таким образом, можно записать T=(Z1Z1, . .Zn(Z1-1 и r'=a2z'm. . .Z[O21, где Z1. . .Zn и z'm. . .Zj — циклические перестановки двух из г*1, а аи а2 Є А.
Рассмотрим теперь, каким может быть сокращение в произведении г'г = a2z'm. . .Z[Ui1U1Z1.. .ZnU11. Тот факт, что •Jx1, X2} — блокирующая пара для А в Я, исключает возможность того, что в произведении имеется много сокращений, за исключением, конечно, случая г' = г-1. Проиллюстрируем эту ситуацию.
Допустим, что несколько элементов Zi и Zj сокращаются между собой. Для того чтобы Zi и Zj могли сократиться, необходимо, чтобы они лежали в одном множителе группы F. В каждом г;, за исключением одной буквы с,-, остальные поочередно встречающиеся буквы суть xf1, или X21, или t/*1. Таким образом, один из Z1 или Z2 должен равняться некоторому х. Допустим, например, что Z1 равен у±г и что с,- не встречается среди сокращенных букв z.
Тогда г'г = U21Zn.. .гз(х/ах*) z3. . .ZnU11, где а € Л— результат предыдущего сокращения, т.е. A = ZIa2-1OiZj. Поскольку Z2 и Z2 сокращаются, должно быть х^ахі^А. Однако {X1, X2} — блокирующая пара для А, так что это сокращение возможно лишь при а=1 и Х/Х* = 1. Таким образом, Z2 = Z2-1.
Далее, Z3 и Z3- это некоторые у. Таким образом, или Z3Z3 = //±2, или Z3Z3 = 1. Конечно, в принципе возможно, что 1 Ф у±г = а* Є А. Однако тогда Z3 и Z4 не могли бы сократиться, поскольку Z4 и Z4 суть элементы х, а включение xfa*xf ^ А невозможно. Следовательно, Z3 = Za1. Таким образом, либо у = у~1, либо в силу того, что все у, встречающиеся в одном элементе из R, находятся в одной и той же степени, все у в г имеют степень, противоположную той, в которой они встречаются в г'. Возвращаясь к первоначальному сокращению в г'г, получаем 1 = a = Z[CL21Ci1Z1 = = (/8O2-1Oi«-Таким образом, U21U1=I и O1 = O2.
Продолжая в том же духе, мы видим, что если Zj и Zj сокращаются, то Zj = Zf1. Более того, предположим в общем случае, что Z1...гг и z's...z[ сокращаются, причем 6. Тогда можно сделать вывод, что для каждого Zj, Zj = Zj1. Кроме
того, имеем U1 = а2.
